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数学2 三角関数問題 100 解説

方針・初手

$\sin\theta+\cos\theta=t$ とおき、与式を $t$ の方程式に帰着させる。得られた $t$ の値から $\sin\theta$ と $\cos\theta$ の和と積を求め、2次方程式の解として $\sin\theta, \cos\theta$ の値を決定する。

解法1

$\sin\theta+\cos\theta=t$ とおく。

両辺を2乗すると、

$$\sin^2\theta+2\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta=t^2$$

$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ であるから、

$$\sin\theta\cos\theta=\frac{t^2-1}{2}$$

また、三角関数の合成により $t=\sqrt{2}\sin\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)$ と変形できるため、$\theta$ が実数全体を動くとき $t$ のとり得る値の範囲は、

$$-\sqrt{2} \leqq t \leqq \sqrt{2}$$

である。

与えられた等式の左辺を変形すると、

$$\begin{aligned} \sin^3\theta+\cos^3\theta &= (\sin\theta+\cos\theta)^3-3\sin\theta\cos\theta(\sin\theta+\cos\theta) \\ &= t^3-3\cdot\frac{t^2-1}{2}\cdot t \\ &= \frac{-t^3+3t}{2} \end{aligned}$$

これが $\frac{11}{16}$ に等しいので、

$$\frac{-t^3+3t}{2} = \frac{11}{16}$$

両辺に $16$ を掛けて整理すると、

$$8t^3-24t+11=0$$

左辺は $2t-1$ を因数にもつので、因数分解すると、

$$(2t-1)(4t^2+2t-11)=0$$

よって、

$$t = \frac{1}{2}, \frac{-1\pm 3\sqrt{5}}{4}$$

ここで、$t=\frac{-1\pm 3\sqrt{5}}{4}$ について、その平方を考えると、

$$\left(\frac{-1\pm 3\sqrt{5}}{4}\right)^2 = \frac{1 \mp 6\sqrt{5} + 45}{16} = \frac{23 \mp 3\sqrt{5}}{8}$$

$3\sqrt{5} = \sqrt{45} < \sqrt{49}=7$ であるから、

$$23 \mp 3\sqrt{5} > 23 - 7 = 16$$

ゆえに、

$$\left(\frac{-1\pm 3\sqrt{5}}{4}\right)^2 > \frac{16}{8} = 2$$

となり、$t^2 > 2$ すなわち $t < -\sqrt{2}, \sqrt{2} < t$ となるため、$-\sqrt{2} \leqq t \leqq \sqrt{2}$ を満たさない。

したがって、適する $t$ の値は $t=\frac{1}{2}$ のみである。

このとき、

$$\sin\theta+\cos\theta=\frac{1}{2}$$

$$\sin\theta\cos\theta=\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^2-1}{2}=-\frac{3}{8}$$

$\sin\theta$ と $\cos\theta$ は、$x$ についての2次方程式

$$x^2-\frac{1}{2}x-\frac{3}{8}=0$$

すなわち、

$$8x^2-4x-3=0$$

の2つの解である。

解の公式より、

$$x = \frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-8\cdot(-3)}}{8} = \frac{2\pm\sqrt{28}}{8} = \frac{1\pm\sqrt{7}}{4}$$

これらは実数であり、$\theta$ が実数として存在するための条件を満たしている。

よって、求める $\sin\theta, \cos\theta$ の値は、これら2つの解の組合せとなる。

解説

$\sin\theta$ と $\cos\theta$ の対称式に関する基本的な問題である。和を $t$ とおき、積を $t$ で表して $t$ の方程式を導く手法は極めてよく出題される。 $t$ のとり得る値の範囲が $-\sqrt{2} \leqq t \leqq \sqrt{2}$ となることに注意し、求めた解がこの範囲を満たすかどうかを確実に吟味することが重要である。範囲の確認において無理数の大小比較が必要になるが、直接比較するよりも2乗して $2$ と比べる方が簡明である。