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数学2 三角関数問題 107 解説

方針・初手

三角形の内角の和が $180^\circ$ であることを利用し、角を減らして $\tan$ の関係式を導く。問題の条件「$\tan$ の値が整数であること」「$A < B < C$ であること」を活かすため、不等式による値の絞り込みを行う。特に角の大小関係から、特定の角が取り得る範囲を限定していくことがポイントとなる。

解法1

(1)

三角形の内角の和は $180^\circ$ であるから、$A+B+C = 180^\circ$ が成り立つ。これを変形すると $B+C = 180^\circ - A$ となる。したがって、正接の性質から次が成り立つ。

$$\tan(B+C) = \tan(180^\circ - A) = -\tan A$$

(2)

$A < B < C$ であり、$A+B+C = 180^\circ$ であるから、$3A < A+B+C = 180^\circ$ より $A < 60^\circ$ である。 $A$ は三角形の内角だから $0^\circ < A < 60^\circ$ であり、この範囲において $0 < \tan A < \sqrt{3}$ となる。問題の条件より $\tan A$ は整数であるから、$\tan A = 1$ と定まる。 $0^\circ < A < 180^\circ$ より、$A = 45^\circ$ である。

これより、$B+C = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$ となる。ここで、$C \ge 90^\circ$ と仮定する。 $B = 135^\circ - C$ であるから、$B \le 135^\circ - 90^\circ = 45^\circ$ となる。しかし、これは $A < B$ すなわち $45^\circ < B$ であることに矛盾する。したがって、$C < 90^\circ$ である。

(3)

(2) の結果から $A < B < C < 90^\circ$ であるため、$0 < \tan A < \tan B < \tan C$ であり、これらはすべて正の整数となる。 (2) より $\tan A = 1$ であり、(1) より $\tan(B+C) = -1$ である。正接の加法定理より、次が成り立つ。

$$\frac{\tan B + \tan C}{1 - \tan B \tan C} = -1$$

分母を払って整理する。

$$\tan B + \tan C = -1 + \tan B \tan C$$

$$\tan B \tan C - \tan B - \tan C = 1$$

両辺に $1$ を加えて左辺を因数分解する。

$$\tan B \tan C - \tan B - \tan C + 1 = 2$$

$$(\tan B - 1)(\tan C - 1) = 2$$

$\tan A = 1$ と $\tan A < \tan B < \tan C$ より、$2 \le \tan B < \tan C$ である。したがって、$1 \le \tan B - 1 < \tan C - 1$ となり、$\tan B - 1$ と $\tan C - 1$ は正の整数であるから、次のように定まる。

$$\begin{cases} \tan B - 1 = 1 \\ \tan C - 1 = 2 \end{cases}$$

これより、$\tan B = 2$、$\tan C = 3$ を得る。以上より、求める組は $(\tan A, \tan B, \tan C) = (1, 2, 3)$ となる。

解法2

(1)

解法1と同様であるため省略する。

(2)

$C \ge 90^\circ$ と仮定する。 $\tan C$ は整数として定義されているため、$C \neq 90^\circ$ であり、$C > 90^\circ$ となる。このとき、$\triangle \text{ABC}$ の残りの角 $A, B$ は鋭角となるから、$0^\circ < A < B < 90^\circ$ である。したがって $0 < \tan A < \tan B$ であり、これらは整数であるから $\tan A \ge 1$、$\tan B \ge 2$ となる。正接の加法定理より、次のように表せる。

$$\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$$

ここで、$\tan A + \tan B \ge 3 > 0$ であり、$\tan A \tan B \ge 2$ より $1 - \tan A \tan B < 0$ となるため、$\tan(A+B) < 0$ である。一方、$A+B+C = 180^\circ$ より $A+B = 180^\circ - C$ である。 $90^\circ < C < 180^\circ$ であるから、$0^\circ < A+B < 90^\circ$ となり、$\tan(A+B) > 0$ を得るが、これは $\tan(A+B) < 0$ に矛盾する。したがって、$C < 90^\circ$ である。

(3)

(2) より、$A < B < C < 90^\circ$ であるから、$0 < \tan A < \tan B < \tan C$ となり、これらはすべて正の整数である。したがって、$\tan A \ge 1$ である。 (1) より $\tan(B+C) = -\tan A$ であり、加法定理を用いると次が成り立つ。

$$\frac{\tan B + \tan C}{1 - \tan B \tan C} = -\tan A$$

分母を払って整理する。

$$\tan B + \tan C = -\tan A + \tan A \tan B \tan C$$

$$\tan A \tan B \tan C = \tan A + \tan B + \tan C$$

両辺を $\tan A \tan B \tan C$ で割る（$\tan A, \tan B, \tan C$ は正の整数より $0$ ではない）。

$$1 = \frac{1}{\tan B \tan C} + \frac{1}{\tan C \tan A} + \frac{1}{\tan A \tan B}$$

$\tan A < \tan B < \tan C$ であるから、次のように不等式評価できる。

$$1 < \frac{3}{(\tan A)^2}$$

$$(\tan A)^2 < 3$$

$\tan A$ は正の整数であるから、$\tan A = 1$ と定まる。これを $\tan A \tan B \tan C = \tan A + \tan B + \tan C$ に代入する。

$$\tan B \tan C = 1 + \tan B + \tan C$$

$$(\tan B - 1)(\tan C - 1) = 2$$

$1 = \tan A < \tan B < \tan C$ より $1 \le \tan B - 1 < \tan C - 1$ であるから、次のようになる。

$$\begin{cases} \tan B - 1 = 1 \\ \tan C - 1 = 2 \end{cases}$$

よって $\tan B = 2$、$\tan C = 3$ である。ゆえに、$(\tan A, \tan B, \tan C) = (1, 2, 3)$ となる。

解説

三角形の3つの内角に関する問題において、$A+B+C = 180^\circ$ の条件を用いて変数を減らすのは定石である。また、角度の大小関係（$A < B < C$）から最も小さい角の上限を調べる手法（解法1の $3A < 180^\circ$）や、対称な関係式を不等式で評価する手法（解法2の逆数の和の評価）は、整数問題や図形問題で頻出の絞り込みテクニックである。解法2で登場した関係式 $\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C$ は、三角形の内角について常に成り立つ有名な等式であり、これを利用して解き進めることも有効である。