数学2 三角関数 問題 109 解説

方針・初手

(1) 加法定理を用いて $\cos 2\theta$ と $\cos 3\theta$ の式を導出する。

(2) 余弦定理から正五角形の1辺の長さ $L$ の2乗を $\cos\frac{2}{5}\pi$ を用いて表す。$\theta = \frac{2}{5}\pi$ について $5\theta = 2\pi$ であることに着目し、(1) で導いた関係式を利用して $\cos\frac{2}{5}\pi$ の値を求める。求めた $L^2$ の値と $1.15^2$ の大小関係を、平方根の不等式評価を用いて比較する。

解法1

(1)

加法定理 $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$ を用いる。

$$\cos 2\theta = \cos(\theta + \theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta = \cos^2\theta - (1 - \cos^2\theta) = 2\cos^2\theta - 1$$

また、$\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ を用いると、

$$\begin{aligned} \cos 3\theta &= \cos(2\theta + \theta) \\ &= \cos 2\theta\cos\theta - \sin 2\theta\sin\theta \\ &= (2\cos^2\theta - 1)\cos\theta - 2\sin\theta\cos\theta \cdot \sin\theta \\ &= 2\cos^3\theta - \cos\theta - 2\sin^2\theta\cos\theta \\ &= 2\cos^3\theta - \cos\theta - 2(1 - \cos^2\theta)\cos\theta \\ &= 4\cos^3\theta - 3\cos\theta \end{aligned}$$

(2)

半径 1 の円に内接する正五角形の一辺の長さを $L$ とする。正五角形の中心角は $\frac{2}{5}\pi$ であるから、余弦定理により

$$L^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos\frac{2}{5}\pi = 2 - 2\cos\frac{2}{5}\pi$$

ここで、$\theta = \frac{2}{5}\pi$ とおくと、$5\theta = 2\pi$ より $3\theta = 2\pi - 2\theta$ である。

よって、$\cos 3\theta = \cos(2\pi - 2\theta) = \cos 2\theta$ が成り立つ。

(1) の結果を用いると、$\cos\theta = x$ として

$$4x^3 - 3x = 2x^2 - 1$$

$$4x^3 - 2x^2 - 3x + 1 = 0$$

左辺は $x=1$ を代入すると $0$ になるから、$x-1$ を因数にもち、

$$(x - 1)(4x^2 + 2x - 1) = 0$$

$0 < \frac{2}{5}\pi < \frac{\pi}{2}$ より $0 < x < 1$ であるから $x \neq 1$。よって

$$4x^2 + 2x - 1 = 0$$

$x > 0$ より $x = \frac{-1+\sqrt{5}}{4}$ である。すなわち $\cos\frac{2}{5}\pi = \frac{-1+\sqrt{5}}{4}$ となるから、

$$L^2 = 2 - 2 \left( \frac{-1+\sqrt{5}}{4} \right) = 2 - \frac{-1+\sqrt{5}}{2} = \frac{5-\sqrt{5}}{2}$$

これと $1.15^2$ の大小を比較する。$1.15 = \frac{23}{20}$ より

$$1.15^2 = \frac{529}{400} = 1.3225$$

一方で、$\sqrt{5}$ の値を評価する。$2.3^2 = 5.29 > 5$ であるから、$\sqrt{5} < 2.3$ が成り立つ。これを用いると、

$$L^2 = \frac{5-\sqrt{5}}{2} > \frac{5-2.3}{2} = \frac{2.7}{2} = 1.35$$

ゆえに、$L^2 > 1.35 > 1.3225 = 1.15^2$ である。$L > 0$ かつ $1.15 > 0$ より

$$L > 1.15$$

したがって、正五角形の一辺の長さは $1.15$ より大きい。

解説

(1) の倍角・3倍角の公式の導出は、基本として確実に押さえておきたい処理である。(2) の $\cos\frac{2}{5}\pi$ の算出も、$\theta = \frac{2}{5}\pi$ に対する $5\theta=2\pi$ という着眼点を利用する典型的な手法である。

後半の大小比較において、数値をそのまま代入して平方根の計算をするよりも、$1.15$ などを分数に直して2乗を比較し、$\sqrt{5}$ を適切な有理数で上から評価する方が計算の見通しが良い。$2.3^2 = 5.29$ という評価だけで十分な精度が得られることに気づけるかがポイントである。

答え

(1) $\cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1, \quad \cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$

(2) 大きい