数学2 三角関数 問題 110 解説

方針・初手

与えられた方程式は角度が $2\theta$ と $3\theta$ で異なり、さらに $\sin$ と $\cos$ が混在している。まずは2倍角の公式および3倍角の公式を用いて、角度を $\theta$ に統一する。その後、因数分解を行い、各因数が $0$ になる条件から $\sin \theta$ の値を求める。

解法1

2倍角の公式 $\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ と、3倍角の公式 $\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ を与えられた方程式に代入する。

$$2\sin\theta\cos\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$$

右辺の項を左辺に移項して整理する。

$$4\cos^3\theta - 2\sin\theta\cos\theta - 3\cos\theta = 0$$

共通因数である $\cos\theta$ でくくる。

$$\cos\theta(4\cos^2\theta - 2\sin\theta - 3) = 0$$

三角関数の相互関係 $\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$ を用いて、カッコ内を $\sin\theta$ のみの式に変形する。

$$\cos\theta \{4(1 - \sin^2\theta) - 2\sin\theta - 3\} = 0$$

$$\cos\theta(-4\sin^2\theta - 2\sin\theta + 1) = 0$$

したがって、次の方程式が成り立つ。

$$\cos\theta = 0 \quad \text{または} \quad 4\sin^2\theta + 2\sin\theta - 1 = 0$$

問題の条件より $0 < \theta < \pi$ であるから、$0 < \sin\theta \leqq 1$ を満たす必要がある。

(i) $\cos\theta = 0$ のとき

$0 < \theta < \pi$ の範囲において、これを満たす $\theta$ は $\theta = \frac{\pi}{2}$ のみである。 このとき $\sin\theta = 1$ となり、$0 < \sin\theta \leqq 1$ を満たす。

(ii) $4\sin^2\theta + 2\sin\theta - 1 = 0$ のとき

$\sin\theta$ についての二次方程式として解の公式を用いる。

$$\sin\theta = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{4}$$

ここで、$0 < \sin\theta \leqq 1$ であるから、負の解は不適となる。 $2 < \sqrt{5} < 3$ であることを考慮すると、正の解 $\frac{-1 + \sqrt{5}}{4}$ は $0 < \frac{-1 + \sqrt{5}}{4} < \frac{2}{4}$ となり、$0 < \sin\theta \leqq 1$ を満たす。

したがって、$\sin\theta = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4}$ である。

以上 (i), (ii) より、求める $\sin\theta$ の値は $1$ と $\frac{-1 + \sqrt{5}}{4}$ である。

解説

三角方程式を解くための基本的な手順である「角度の統一」と「関数（$\sin, \cos$）の統一」を素直に実行する問題である。 3倍角の公式 $\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ は直ちに引き出せるようにしておくこと。忘れた場合でも、加法定理から $\cos(2\theta + \theta)$ として導出できる。 式変形の過程で安易に両辺を $\cos\theta$ で割ってしまうと、$\cos\theta = 0$ となる解（本問における $\sin\theta = 1$）を見落としてしまうため、必ず移項して因数分解する手順を踏むことが重要である。 最後に、求まった $\sin\theta$ の値が定義域 $0 < \theta < \pi$ に適合するかどうか（$0 < \sin\theta \leqq 1$ を満たすか）の吟味を忘れないようにしたい。

答え

$1$

$\frac{-1+\sqrt{5}}{4}$