数学2 三角関数 問題 111 解説

方針・初手

2倍角の公式を用いて角度を $x$ に統一し、式を因数分解して積の形に持ち込む。

解法1

与えられた不等式は以下の通りである。

$$\sqrt{2}\sin x + 2\cos x + \sqrt{2}\sin 2x + 1 \leqq 0$$

2倍角の公式 $\sin 2x = 2\sin x\cos x$ を用いると、不等式は次のように変形できる。

$$\sqrt{2}\sin x + 2\cos x + 2\sqrt{2}\sin x\cos x + 1 \leqq 0$$

左辺を因数分解する。

$$\sqrt{2}\sin x(1 + 2\cos x) + (2\cos x + 1) \leqq 0$$

$$(\sqrt{2}\sin x + 1)(2\cos x + 1) \leqq 0$$

この不等式が成り立つための条件は、以下の (i) または (ii) が成り立つことである。

(i) $\sqrt{2}\sin x + 1 \geqq 0$ かつ $2\cos x + 1 \leqq 0$ の場合

すなわち、$\sin x \geqq -\frac{1}{\sqrt{2}}$ かつ $\cos x \leqq -\frac{1}{2}$ である。 $0 \leqq x < 2\pi$ において、それぞれの不等式を解くと、

$$0 \leqq x \leqq \frac{5}{4}\pi, \quad \frac{7}{4}\pi \leqq x < 2\pi$$

かつ

$$\frac{2}{3}\pi \leqq x \leqq \frac{4}{3}\pi$$

これらを同時に満たす $x$ の範囲は、

$$\frac{2}{3}\pi \leqq x \leqq \frac{5}{4}\pi$$

(ii) $\sqrt{2}\sin x + 1 \leqq 0$ かつ $2\cos x + 1 \geqq 0$ の場合

すなわち、$\sin x \leqq -\frac{1}{\sqrt{2}}$ かつ $\cos x \geqq -\frac{1}{2}$ である。 $0 \leqq x < 2\pi$ において、それぞれの不等式を解くと、

$$\frac{5}{4}\pi \leqq x \leqq \frac{7}{4}\pi$$

かつ

$$0 \leqq x \leqq \frac{2}{3}\pi, \quad \frac{4}{3}\pi \leqq x < 2\pi$$

これらを同時に満たす $x$ の範囲は、

$$\frac{4}{3}\pi \leqq x \leqq \frac{7}{4}\pi$$

以上 (i), (ii) より、求める解は以下のようになる。

$$\frac{2}{3}\pi \leqq x \leqq \frac{5}{4}\pi, \quad \frac{4}{3}\pi \leqq x \leqq \frac{7}{4}\pi$$

解説

三角関数の不等式において、角度が揃っていない場合は、2倍角の公式などを用いて角度を統一するのが定石である。本問では $\sin 2x$ を展開することで、項のグループ分けから因数分解が可能な形に持ち込める。 因数分解後は、$AB \leqq 0 \iff (A \geqq 0 \text{ かつ } B \leqq 0) \text{ または } (A \leqq 0 \text{ かつ } B \geqq 0)$ という基本的な同値変形に基づき、2つの連立不等式を解けばよい。単位円を用いて共通範囲を正確に求めることが求められる。

答え

$\frac{2}{3}\pi \leqq x \leqq \frac{5}{4}\pi, \quad \frac{4}{3}\pi \leqq x \leqq \frac{7}{4}\pi$