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数学2 三角関数問題 112 解説

方針・初手

三角関数 $\sin \alpha$ および $\sin 2\beta$ のとりうる値の範囲から、与えられた等式の左辺の各項の最大値・最小値を考える。和が $2$ になるという条件から、$\alpha$ と $\beta$ の満たすべき方程式を導き出す。

解法1

$-1 \leqq \sin \alpha \leqq 1$ および $-1 \leqq \sin 2\beta \leqq 1$ であるから、分母のとりうる値の範囲はそれぞれ以下のようになる。

$$1 \leqq 2 + \sin \alpha \leqq 3$$

$$1 \leqq 2 + \sin 2\beta \leqq 3$$

これより、各分数のとりうる値の範囲は以下のようになる。

$$\frac{1}{3} \leqq \frac{1}{2 + \sin \alpha} \leqq 1$$

$$\frac{1}{3} \leqq \frac{1}{2 + \sin 2\beta} \leqq 1$$

与えられた等式は、これら2つの分数の和が $2$ になることを示している。それぞれの分数の最大値が $1$ であるため、和が $2$ となるのは、両方の分数がともに最大値 $1$ をとるときに限られる。したがって、次の2つの等式が同時に成り立つ。

$$\frac{1}{2 + \sin \alpha} = 1 \quad \text{かつ} \quad \frac{1}{2 + \sin 2\beta} = 1$$

これらを整理すると、以下のようになる。

$$\sin \alpha = -1 \quad \text{かつ} \quad \sin 2\beta = -1$$

$m, n$ を任意の整数として、この方程式を解くと以下のようになる。

$$\alpha = -\frac{\pi}{2} + 2m\pi$$

$$2\beta = -\frac{\pi}{2} + 2n\pi \iff \beta = -\frac{\pi}{4} + n\pi$$

これを用いて、目標の式 $|\alpha + \beta - 8\pi|$ に代入する。

$$\begin{aligned} |\alpha + \beta - 8\pi| &= \left| \left(-\frac{\pi}{2} + 2m\pi\right) + \left(-\frac{\pi}{4} + n\pi\right) - 8\pi \right| \\ &= \left| 2m\pi + n\pi - \frac{3}{4}\pi - 8\pi \right| \\ &= \left| (2m + n - 8) - \frac{3}{4} \right| \pi \end{aligned}$$

ここで、$m, n$ は任意の整数であるから、$k = 2m + n - 8$ とおくと、$k$ も任意の整数をとりうる。式は次のように書き換えられる。

$$\left| k - \frac{3}{4} \right| \pi$$

この値が最小となるのは、整数 $k$ が $\frac{3}{4}$ に最も近い値をとるときである。 $k = 1$ のとき、$\left| 1 - \frac{3}{4} \right| \pi = \frac{1}{4}\pi$ である。 $k = 0$ のとき、$\left| 0 - \frac{3}{4} \right| \pi = \frac{3}{4}\pi$ である。

したがって、最小値は $\frac{1}{4}\pi$ となる。