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数学2 三角関数問題 113 解説

方針・初手

(1) は $\frac{7\pi}{12} = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}$ あるいは $\frac{7\pi}{12} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6}$ などの有名角への分解から、正接の加法定理を用いる。 (2) は $m, n$ が整数で $0 < m < n$ であることから $m \ge 1, n \ge 2$ となることを利用し、$\alpha, \beta$ の取り得る値の範囲を評価する。 (3) は正接の加法定理を用いて $\tan(\alpha + \beta)$ を $m, n$ で表す。(2) の結果から $\tan(\alpha + \beta)$ の値の範囲を絞り込み、整数となる値を特定してから不定方程式を解く。

解法1

(1)

$\frac{7\pi}{12} = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}$ であるから、正接の加法定理より以下のように計算できる。

$$\tan \frac{7\pi}{12} = \tan \left( \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\tan \frac{\pi}{3} + \tan \frac{\pi}{4}}{1 - \tan \frac{\pi}{3} \tan \frac{\pi}{4}}$$

$\tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}, \tan \frac{\pi}{4} = 1$ を代入する。

$$\tan \frac{7\pi}{12} = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3} \cdot 1} = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}}$$

分母を有理化する。

$$\tan \frac{7\pi}{12} = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{1 - 3} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{-2} = -2 - \sqrt{3}$$

(2)

$m, n$ は $0 < m < n$ を満たす整数であるから、$m \ge 1, n \ge 2$ である。

また、$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}, 0 < \beta < \frac{\pi}{2}$ の範囲において、$\tan x$ は単調増加関数である。

$\tan \alpha = m \ge 1 = \tan \frac{\pi}{4}$ より、

$$\alpha \ge \frac{\pi}{4}$$

が成り立つ。さらに、$\tan \beta = n \ge 2$ であり、$\tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} < 2$ であるから、

$$\beta > \frac{\pi}{3}$$

が成り立つ。したがって、辺々を加えると以下の不等式を得る。

$$\alpha + \beta > \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{12}$$

よって、$\alpha + \beta > \frac{7\pi}{12}$ が示された。

(3)

正接の加法定理より、

$$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} = \frac{m + n}{1 - mn}$$

となる。次に $\alpha + \beta$ の取り得る範囲を考える。 $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}, 0 < \beta < \frac{\pi}{2}$ より $\alpha + \beta < \pi$ であり、(2) の結果と合わせると、

$$\frac{7\pi}{12} < \alpha + \beta < \pi$$

となる。この範囲において $\tan x$ は単調増加であり、常に負の値をとる。

$$\tan \frac{7\pi}{12} < \tan(\alpha + \beta) < \tan \pi$$

(1) の結果より、

$$-2 - \sqrt{3} < \tan(\alpha + \beta) < 0$$

$-2 - \sqrt{3}$ はおよそ $-3.732$ である。$\tan(\alpha + \beta)$ は整数であるとされているため、この範囲に含まれる整数は $-3, -2, -1$ のいずれかである。

$\tan(\alpha + \beta) = k$ （$k$ は $-3, -2, -1$ のいずれか）とおくと、

$$\frac{m + n}{1 - mn} = k \iff m + n = k(1 - mn) \iff kmn + m + n = k$$

この方程式を各 $k$ について解く。

(i) $k = -1$ のとき

$$-mn + m + n = -1$$

両辺に $-1$ を掛けて変形する。

$$mn - m - n = 1$$

$$(m - 1)(n - 1) - 1 = 1 \iff (m - 1)(n - 1) = 2$$

$0 < m < n$ より $m \ge 1$ であるから $0 \le m - 1 < n - 1$ となる。これを満たす整数の組は、

$$(m - 1, n - 1) = (1, 2)$$

のみである。よって、$(m, n) = (2, 3)$ となる。

(ii) $k = -2$ のとき

$$-2mn + m + n = -2$$

符号を反転し、両辺を $2$ 倍して因数分解しやすい形にする。

$$4mn - 2m - 2n = 4$$

$$(2m - 1)(2n - 1) - 1 = 4 \iff (2m - 1)(2n - 1) = 5$$

$0 < m < n$ より $1 \le 2m - 1 < 2n - 1$ となる。これを満たす整数の組は、

$$(2m - 1, 2n - 1) = (1, 5)$$

のみである。よって、$2m - 1 = 1, 2n - 1 = 5$ より $(m, n) = (1, 3)$ となる。

(iii) $k = -3$ のとき

$$-3mn + m + n = -3$$

符号を反転し、両辺を $3$ 倍して変形する。

$$9mn - 3m - 3n = 9$$

$$(3m - 1)(3n - 1) - 1 = 9 \iff (3m - 1)(3n - 1) = 10$$

$0 < m < n$ より $2 \le 3m - 1 < 3n - 1$ となる。これを満たす整数の組は、

$$(3m - 1, 3n - 1) = (2, 5)$$

のみである。よって、$3m - 1 = 2, 3n - 1 = 5$ より $(m, n) = (1, 2)$ となる。

以上 (i) ～ (iii) より、求める組は $(1, 2), (1, 3), (2, 3)$ である。

解説

加法定理から不定方程式へとつなぐ標準的な問題である。 (2) が (3) のための強力な誘導となっており、$\alpha + \beta$ の値の範囲を絞ることで、$\tan(\alpha + \beta)$ がとり得る整数の候補を有限個に決定できる。整数問題において $xy + ax + by = c$ の形が現れた場合は、$(x+b)(y+a) = c + ab$ のように因数分解の形へ持ち込む定石処理が必須となる。本問の (3) でも、式の両辺に係数を掛けてから無理やり因数分解を作る手法が活きている。