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数学2 三角関数問題 114 解説

方針・初手

(1)は三角形の内角の和が $\pi$ であることと、$\cos$ の加法定理を利用して証明する。
(2)は和積の公式や加法定理を用いて左辺を変形し、$1 + (\text{正の数})$ の形を作り出す。
(3)は $A=B$ の条件を用いてすべての角を $A$ で表し、$\cos A$ の2次関数として最大値を求める。

解法1

(1)

$\triangle\text{ABC}$ の内角の和は $\pi$ であるから、

$$A + B + C = \pi$$

$$C = \pi - (A + B)$$

が成り立つ。よって、左辺は次のように変形できる。

$$\cos C = \cos(\pi - (A + B)) = -\cos(A + B)$$

ここで、$\cos$ の加法定理 $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$ において、$\alpha = \frac{A+B}{2}$, $\beta = \frac{A+B}{2}$ とすると、

$$\begin{aligned} \cos(A+B) &= \cos\left( \frac{A+B}{2} + \frac{A+B}{2} \right) \\ &= \cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A+B}{2} - \sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A+B}{2} \\ &= \cos^2\frac{A+B}{2} - \sin^2\frac{A+B}{2} \end{aligned}$$

となる。したがって、

$$-\cos(A+B) = \sin^2\frac{A+B}{2} - \cos^2\frac{A+B}{2}$$

ゆえに、

$$\cos C = \sin^2\frac{A+B}{2} - \cos^2\frac{A+B}{2}$$

が示された。

(2)

$\cos A + \cos B$ に和積の公式を用いると、

$$\cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$$

また、(1) の結果より、

$$\begin{aligned} \cos C &= \sin^2\frac{A+B}{2} - \cos^2\frac{A+B}{2} \\ &= 1 - \cos^2\frac{A+B}{2} - \cos^2\frac{A+B}{2} \\ &= 1 - 2\cos^2\frac{A+B}{2} \end{aligned}$$

これらを用いると、与式の左辺は次のように変形できる。

$$\begin{aligned} \cos A + \cos B + \cos C &= 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2} + 1 - 2\cos^2\frac{A+B}{2} \\ &= 1 + 2\cos\frac{A+B}{2} \left( \cos\frac{A-B}{2} - \cos\frac{A+B}{2} \right) \end{aligned}$$

括弧の中身について、加法定理より

$$\cos\frac{A-B}{2} = \cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2} + \sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}$$

$$\cos\frac{A+B}{2} = \cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2} - \sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}$$

であるから、辺々を引くと

$$\cos\frac{A-B}{2} - \cos\frac{A+B}{2} = 2\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}$$

となる。さらに、$A+B+C=\pi$ より $\frac{A+B}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}$ であるから、

$$\cos\frac{A+B}{2} = \cos\left( \frac{\pi}{2} - \frac{C}{2} \right) = \sin\frac{C}{2}$$

これらを代入すると、

$$\cos A + \cos B + \cos C = 1 + 4\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}$$

$A, B, C$ は $\triangle\text{ABC}$ の内角なので、$0 < A < \pi$, $0 < B < \pi$, $0 < C < \pi$ である。よって、$0 < \frac{A}{2} < \frac{\pi}{2}$, $0 < \frac{B}{2} < \frac{\pi}{2}$, $0 < \frac{C}{2} < \frac{\pi}{2}$ となるため、

$$\sin\frac{A}{2} > 0, \quad \sin\frac{B}{2} > 0, \quad \sin\frac{C}{2} > 0$$

したがって、$4\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2} > 0$ であるから、

$$\cos A + \cos B + \cos C > 1$$

が成り立つ。

(3)

$A=B$ であり、$A+B+C=\pi$ であるから、$2A+C=\pi$ すなわち $C=\pi-2A$ となる。また、$A>0$ かつ $C>0$ より $0 < A < \frac{\pi}{2}$ である。

このとき、

$$\begin{aligned} \cos A + \cos B + \cos C &= \cos A + \cos A + \cos(\pi - 2A) \\ &= 2\cos A - \cos 2A \end{aligned}$$

2倍角の公式 $\cos 2A = 2\cos^2 A - 1$ を用いると、

$$\begin{aligned} 2\cos A - \cos 2A &= 2\cos A - (2\cos^2 A - 1) \\ &= -2\cos^2 A + 2\cos A + 1 \end{aligned}$$

ここで、$t = \cos A$ とおく。$0 < A < \frac{\pi}{2}$ より、$0 < t < 1$ である。与式を $t$ の関数 $f(t)$ とすると、

$$\begin{aligned} f(t) &= -2t^2 + 2t + 1 \\ &= -2\left( t - \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{3}{2} \end{aligned}$$

$0 < t < 1$ の範囲において、$f(t)$ は $t = \frac{1}{2}$ のとき最大値 $\frac{3}{2}$ をとる。

$t = \frac{1}{2}$ のとき、$\cos A = \frac{1}{2}$ であり、$0 < A < \frac{\pi}{2}$ より $A = \frac{\pi}{3}$ である。このとき、$B = A = \frac{\pi}{3}$ であり、$C = \pi - 2 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$ となる。

解説

(1) は倍角の公式（または半角の公式）の導出そのものである。加法定理を用いることが明記されているため、丁寧に途中式を書く必要がある。
(2) は $\cos A + \cos B + \cos C = 1 + 4\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}$ という有名な恒等式の証明と同値である。和積の公式をうまく使いこなせるかが鍵となる。
(3) は条件を1つの文字に集約して2次関数の最大・最小問題に帰着させる定石通りである。角の取り得る範囲（定義域）に注意して $t=\cos A$ の変域を正しく設定することが重要である。