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数学2 三角関数問題 115 解説

方針・初手

(1) 三角関数の合成を行い、$y = r\sin(x+\alpha)$ の形に変形します。定義域における位相の範囲を確認し、最大値・最小値とそのときの $x$ の値を求めます。グラフは、基本となる正弦曲線を平行移動したものであることを意識し、主要な点の座標を求めて描きます。

(2) 「〜でないことを示せ」という否定の証明であるため、背理法を用いるのが定石です。関数 $f(x)$ が周期関数であると仮定し、正の周期 $p$ が存在してすべての実数 $x$ で $f(x+p) = f(x)$ が成り立つとしたうえで、$\pi$ が無理数であるという事実に矛盾する結果を導きます。

解法1

(1)

$a=1$ のとき、与えられた関数は以下のように合成できる。

$$f(x) = \sqrt{3}\sin x + \cos x = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x + \frac{1}{2}\cos x\right) = 2\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$$

$0 \leqq x \leqq 2\pi$ より、位相 $x + \frac{\pi}{6}$ のとり得る範囲は

$$\frac{\pi}{6} \leqq x + \frac{\pi}{6} \leqq \frac{13\pi}{6}$$

となる。この範囲において、$\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$ が最大・最小となるのは以下のときである。

$x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$ すなわち $x = \frac{\pi}{3}$ のとき、最大値 $1$
$x + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{2}$ すなわち $x = \frac{4\pi}{3}$ のとき、最小値 $-1$

したがって、$f(x)$ は、

$x = \frac{\pi}{3}$ のとき、最大値 $2 \times 1 = 2$
$x = \frac{4\pi}{3}$ のとき、最小値 $2 \times (-1) = -2$

をとる。

また、グラフをかくために、定義域の端点および $x$ 軸との交点（$f(x)=0$ となる点）を調べる。

$x=0$ のとき、$y = 2\sin\frac{\pi}{6} = 1$
$x=2\pi$ のとき、$y = 2\sin\frac{13\pi}{6} = 1$
$f(x)=0$ となるのは、$x + \frac{\pi}{6} = \pi, 2\pi$ すなわち $x = \frac{5\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$ のときである。

以上より、$y=f(x)$ のグラフは、$y=2\sin x$ のグラフを $x$ 軸方向に $-\frac{\pi}{6}$ だけ平行移動したものであり、以下の主要な点を通る滑らかな正弦曲線となる。

$(0, 1)$ （左端）
$\left(\frac{\pi}{3}, 2\right)$ （最大値をとる点）
$\left(\frac{5\pi}{6}, 0\right)$ （$x$軸との交点）
$\left(\frac{4\pi}{3}, -2\right)$ （最小値をとる点）
$\left(\frac{11\pi}{6}, 0\right)$ （$x$軸との交点）
$(2\pi, 1)$ （右端）

(2)

$a=\pi$ のとき、

$$f(x) = \sqrt{3}\sin x + \cos(\pi x)$$

$f(x)$ が周期関数であると仮定すると、ある正の定数 $p$ が存在して、すべての実数 $x$ に対して

$$f(x+p) = f(x)$$

が成り立つ。

この恒等式に $x=0$ を代入すると、$f(p) = f(0)$ より、

$$\sqrt{3}\sin p + \cos(\pi p) = \sqrt{3}\sin 0 + \cos 0 = 1 \quad \cdots ①$$

また、恒等式に $x=-p$ を代入すると、$f(0) = f(-p)$ より、

$$1 = \sqrt{3}\sin(-p) + \cos(-\pi p) = -\sqrt{3}\sin p + \cos(\pi p) \quad \cdots ②$$

①と②の辺々を足し合わせると、

$$2\cos(\pi p) = 2$$

$$\cos(\pi p) = 1$$

これより、整数 $n$ を用いて $\pi p = 2n\pi$ と表せるため、

$$p = 2n$$

となる。$p>0$ であるから、$n$ は正の整数である。

一方、①から②の辺々を引くと、

$$2\sqrt{3}\sin p = 0$$

$$\sin p = 0$$

これより、整数 $m$ を用いて $p = m\pi$ と表せる。

先に求めた $p=2n$ と等置すると、

$$2n = m\pi$$

$n$ は正の整数であるから $2n \neq 0$ であり、したがって等式を満たすためには $m \neq 0$ でなければならない。両辺を $m$ で割ると、

$$\pi = \frac{2n}{m}$$

$m, n$ はともに整数であるから、$\frac{2n}{m}$ は有理数である。しかし、これは $\pi$ が無理数であるという事実に矛盾する。

したがって、当初の仮定は誤りであり、$f(x)$ は周期関数ではないことが示された。

解説

(1) は基本的な三角関数の合成の問題です。定義域に注意して、最大値と最小値、およびそのときの $x$ の値を正確に求める必要があります。グラフをかく際には、最大・最小となる頂点の座標だけでなく、定義域の端点や $x$ 軸との交点の座標を求めて明示することが、正確なグラフを描くためのポイントになります。

(2) は命題の否定を証明するため、背理法が極めて有効です。周期関数の定義である「すべての実数 $x$ に対して $f(x+p) = f(x)$ を満たす正の定数 $p$ が存在する」ことを利用します。これは $x$ についての恒等式なので、計算が容易になる都合の良い $x$ の値を代入して矛盾を導くのが定石の手法です。本解法では $x=0$ と $x=-p$ を代入することで、$\sin p$ と $\cos(\pi p)$ についての連立方程式を作り、周期 $p$ が有理数かつ無理数の定数倍であるという2つの相反する条件を引き出しています。