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数学2 面積・接線問題 5 解説

方針・初手

$C_1$ と $L$、$C_2$ と $L$ の交点の $x$ 座標をそれぞれ求め、定積分を用いて面積 $S_1, S_2$ を計算する。放物線と直線で囲まれた部分の面積であるため、いわゆる $\frac{1}{6}$ 公式を利用すると計算が見通しよく進む。その後、比 $\frac{S_1}{S_2}$ が $k$ の値に無関係な定数となるための条件を求める。

解法1

$C_1$ と $L$ の交点の $x$ 座標は、方程式 $ax^2 + bx = kx$ すなわち $ax^2 + (b-k)x = 0$ の解である。 $a \neq 0$ であるから、これを解いて、

$$ x = 0, \frac{k-b}{a} $$

を得る。条件 $k \neq b$ より、これら2つの解は異なる。したがって、$C_1$ と $L$ で囲まれる部分の面積 $S_1$ は、積分区間の上下関係によらず絶対値を用いて次のように計算できる。

$$ S_1 = \left| \int_0^{\frac{k-b}{a}} \{ (ax^2 + bx) - kx \} \, dx \right| $$

$$ S_1 = \frac{|a|}{6} \left| \frac{k-b}{a} - 0 \right|^3 $$

$$ S_1 = \frac{|k-b|^3}{6a^2} $$

同様にして、$C_2$ と $L$ の交点の $x$ 座標は $0, \frac{k-q}{p}$ であり、面積 $S_2$ は次のようになる。

$$ S_2 = \frac{|k-q|^3}{6p^2} $$

ここで、$S_1$ と $S_2$ の比を計算すると、

$$ \frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{|k-b|^3}{6a^2}}{\frac{|k-q|^3}{6p^2}} = \frac{p^2}{a^2} \left| \frac{k-b}{k-q} \right|^3 $$

となる。この比 $\frac{S_1}{S_2}$ が $k$ の値によらないための必要十分条件は、$\left| \frac{k-b}{k-q} \right|^3$ が $k \neq b, q$ であるような任意の $k$ について一定となることである。実数 $k$ に対して $\left| \frac{k-b}{k-q} \right|^3$ が定数になるならば、$\frac{k-b}{k-q}$ も定数である。この定数を $C$ とおくと、

$$ \frac{k-b}{k-q} = C $$

$$ k - b = C(k - q) $$

$$ (1 - C)k - b + Cq = 0 $$

これが任意の $k$ について成り立つ恒等式であるから、

$$ 1 - C = 0 \quad \text{かつ} \quad -b + Cq = 0 $$

これを解いて $C = 1$、$b = q$ を得る。

逆に、$b = q$ のとき、

$$ \frac{S_1}{S_2} = \frac{p^2}{a^2} \left| \frac{k-b}{k-b} \right|^3 = \frac{p^2}{a^2} $$

となり、これは確かに $k$ によらない定数となる。

よって、求める必要十分条件は $b = q$ である。