数学2 面積・接線 問題 8 解説

方針・初手

2つの曲線の式から差の関数 $f(x)$ を作成し、それが $x$ 軸と相異なる3点で交わる条件を考える。囲まれた2つの図形の面積が等しいという条件を定積分の式で表し、問題文で与えられた積分公式を適用して解と係数の関係から未知数を決定する。

解法1

2つの曲線の式から、差の関数 $f(x)$ を次のように定める。

$$\begin{aligned} f(x) &= (x^3 - 3x) - \{3(x - a)^2 + b\} \\ &= x^3 - 3x^2 + 3(2a - 1)x - 3a^2 - b \end{aligned}$$

2つの曲線が相異なる3点で交わるため、方程式 $f(x) = 0$ は相異なる3つの実数解をもつ。それらを $\alpha, \beta, \gamma \ (\alpha < \beta < \gamma)$ とおくと、$x^3$ の係数が $1$ であることから、次のように因数分解できる。

$$f(x) = (x - \alpha)(x - \beta)(x - \gamma)$$

2つの曲線で囲まれた2つの図形の面積が等しいとき、区間 $[\alpha, \beta]$ と $[\beta, \gamma]$ における $f(x)$ の定積分の符号が逆で絶対値が等しくなるため、次の式が成り立つ。

$$\int_{\alpha}^{\gamma} f(x) dx = 0$$

問題文で与えられた公式を用いると、次のようになる。

$$\int_{\alpha}^{\gamma} (x - \alpha)(x - \beta)(x - \gamma) dx = \frac{1}{12}(\gamma - \alpha)^3 (2\beta - \alpha - \gamma) = 0$$

$\alpha < \gamma$ より $\gamma - \alpha \neq 0$ であるから、次が成り立つ。

$$2\beta - \alpha - \gamma = 0 \iff \alpha + \gamma = 2\beta$$

一方、$f(x) = 0$ における解と係数の関係より、3つの解の和について次が成り立つ。

$$\alpha + \beta + \gamma = 3$$

これに $\alpha + \gamma = 2\beta$ を代入する。

$$3\beta = 3 \iff \beta = 1$$

したがって、$x = 1$ は方程式 $f(x) = 0$ の解の一つであるから、$f(1) = 0$ となる。

$$f(1) = 1 - 3 + 3(2a - 1) - 3a^2 - b = -3a^2 + 6a - 5 - b = 0$$

$$\therefore b = -3a^2 + 6a - 5$$

このとき、$f(x)$ に $b$ を代入して因数分解する。

$$\begin{aligned} f(x) &= x^3 - 3x^2 + 3(2a - 1)x - 3a^2 - (-3a^2 + 6a - 5) \\ &= x^3 - 3x^2 + 3(2a - 1)x - 6a + 5 \\ &= (x - 1)(x^2 - 2x + 6a - 5) \end{aligned}$$

$f(x) = 0$ が相異なる3つの実数解をもつ条件は、2次方程式 $x^2 - 2x + 6a - 5 = 0$ が $x \neq 1$ である相異なる2つの実数解をもつことである。

まず、$x = 1$ を解にもたない条件を確認する。

$$1^2 - 2 \cdot 1 + 6a - 5 = 6a - 6 \neq 0 \iff a \neq 1$$

次に、判別式を $D$ とし、$D > 0$ となる条件を求める。

$$\frac{D}{4} = (-1)^2 - 1 \cdot (6a - 5) = -6a + 6 > 0$$

$$\therefore a < 1$$

$a < 1$ は $a \neq 1$ を満たす。以上により、求める条件が得られる。

解説

3次関数と2次関数（または直線など）で囲まれる2つの図形の面積が等しいとき、交点の $x$ 座標が等差数列をなすという性質を利用する典型的な問題である。問題文で公式として与えられているため、それに従って素直に立式すればよい。解の一つが判明したあと、残りの解が「相異なる2つの実数解」として存在するための条件（判別式および重解の除外）を忘れずに確認することが重要である。

答え

$b = -3a^2 + 6a - 5$

$a < 1$