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数学2 面積・接線問題 9 解説

方針・初手

曲線 $y=x^4$ 上の点における接線の方程式を求める。接線と曲線 $y=x^2-2x-3$ が囲む面積を求めるため、これら2つのグラフの交点の $x$ 座標の差を計算する。放物線と直線で囲まれた面積であるため、定積分の計算にはいわゆる $\frac{1}{6}$ 公式を利用し、交点の $x$ 座標の差を $t$ の関数として表して最小値を考える。

解法1

$y = x^4$ について $y' = 4x^3$ であるから、曲線上の点 $(t, t^4)$ における接線の方程式は、

$$y - t^4 = 4t^3(x - t)$$

$$y = 4t^3x - 3t^4$$

である。この接線と曲線 $y = x^2 - 2x - 3$ の交点の $x$ 座標は、方程式

$$x^2 - 2x - 3 = 4t^3x - 3t^4$$

$$x^2 - 2(2t^3 + 1)x + 3t^4 - 3 = 0$$

の実数解である。この2次方程式の判別式を $D$ とし、$\frac{D}{4}$ を $f(t)$ とおくと、

$$f(t) = \frac{D}{4} = (2t^3 + 1)^2 - (3t^4 - 3) = 4t^6 - 3t^4 + 4t^3 + 4$$

となる。ここで、$f(t)$ の最小値を調べるために微分する。

$$f'(t) = 24t^5 - 12t^3 + 12t^2 = 12t^2(2t^3 - t + 1)$$

因数定理より $2t^3 - t + 1 = (t + 1)(2t^2 - 2t + 1)$ と因数分解でき、$2t^2 - 2t + 1 = 2 \left( t - \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{1}{2} > 0$ であるから、$f'(t) = 0$ となる実数 $t$ は $t = -1, 0$ である。

$t < -1$ のとき $f'(t) < 0$、$t > -1$ ($t \neq 0$) のとき $f'(t) > 0$、$t = 0$ の前後で $f'(t)$ の符号は正のままで変化しないため、$f(t)$ は $t = -1$ のとき極小かつ最小となる。このとき最小値は、

$$f(-1) = 4(-1)^6 - 3(-1)^4 + 4(-1)^3 + 4 = 1$$

である。すべての実数 $t$ について $f(t) \geqq 1 > 0$ であるため、$D > 0$ となり、接線と曲線は常に異なる2点で交わることが保証される。

その2つの交点の $x$ 座標を $\alpha, \beta$ ($\alpha < \beta$) とすると、解と係数の関係より、

$$\alpha + \beta = 2(2t^3 + 1), \quad \alpha\beta = 3t^4 - 3$$

したがって、交点の $x$ 座標の差 $\beta - \alpha$ は、

$$\beta - \alpha = \sqrt{(\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta} = \sqrt{4 \cdot \frac{D}{4}} = 2\sqrt{f(t)}$$

と表せる。求める面積 $S(t)$ は、区間 $\alpha \leqq x \leqq \beta$ において接線が下に凸な放物線の上側にあるため、

$$S(t) = \int_{\alpha}^{\beta} \left\{ (4t^3x - 3t^4) - (x^2 - 2x - 3) \right\} dx$$

$$S(t) = -\int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)(x - \beta) dx$$

$$S(t) = \frac{1}{6}(\beta - \alpha)^3$$

となる。これに $\beta - \alpha = 2\sqrt{f(t)}$ を代入すると、

$$S(t) = \frac{1}{6} \left( 2\sqrt{f(t)} \right)^3 = \frac{4}{3} \{ f(t) \}^{\frac{3}{2}}$$

となる。$S(t)$ は $f(t)$ が最小となるとき最小値をとる。 $f(t)$ は $t = -1$ のとき最小値 $1$ をとるため、$S(t)$ の最小値は、

$$S(-1) = \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} = \frac{4}{3}$$

である。

解説

放物線と直線で囲まれた面積の公式（いわゆる $\frac{1}{6}$ 公式）を活用する典型的な問題である。交点の $x$ 座標を直接求めようとすると解の公式により式が煩雑になるため、解と係数の関係を利用して差 $\beta - \alpha$ を判別式で処理する手法が有効である。また、面積の最小化が $\beta - \alpha$ の最小化、すなわち判別式の最小化に帰着するという構造は入試において頻出のテーマである。