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数学2 面積・接線問題 11 解説

方針・初手

求める直線の $x$ 切片と $y$ 切片をそれぞれ文字でおき、与えられた条件から連立方程式を立てる。切片を用いた直線の方程式 $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ を利用すると計算が見通しよく進む。

解法1

直線の $x$ 切片を $a$、$y$ 切片を $b$ とおく。直線は点 $(1, 3)$ を通り、傾きが負であるから、$a > 0$ かつ $b > 0$ である。この直線の方程式は、次のように表される。

$$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$$

この直線が点 $(1, 3)$ を通るので、次の式が成り立つ。

$$\frac{1}{a} + \frac{3}{b} = 1 \quad \cdots \text{①}$$

また、直線と $x$ 軸、$y$ 軸で囲まれる図形は直角三角形であり、その面積が $9$ であるから、次の式が成り立つ。

$$\frac{1}{2}ab = 9$$

よって、$ab = 18$ となり、$b = \frac{18}{a}$ である。これを①に代入して整理する。

$$\begin{aligned} \frac{1}{a} + \frac{3}{\frac{18}{a}} &= 1 \\ \frac{1}{a} + \frac{a}{6} &= 1 \end{aligned}$$

両辺に $6a$ を掛けると、次の2次方程式を得る。

$$6 + a^2 = 6a$$

$$a^2 - 6a + 6 = 0$$

これを解くと、$a = 3 \pm \sqrt{3}$ となる。 $\sqrt{3} < 3$ であるから、$a = 3 \pm \sqrt{3}$ はともに $a > 0$ を満たす。

(i) $a = 3 + \sqrt{3}$ のとき

$$b = \frac{18}{3 + \sqrt{3}} = \frac{18(3 - \sqrt{3})}{9 - 3} = 3(3 - \sqrt{3}) = 9 - 3\sqrt{3}$$

これは $b > 0$ を満たす。

(ii) $a = 3 - \sqrt{3}$ のとき

$$b = \frac{18}{3 - \sqrt{3}} = \frac{18(3 + \sqrt{3})}{9 - 3} = 3(3 + \sqrt{3}) = 9 + 3\sqrt{3}$$

これは $b > 0$ を満たす。

以上より、求める $x$ 切片と $y$ 切片の組が得られる。

解法2

直線の傾きを $m$ とおく。条件より $m < 0$ である。直線は点 $(1, 3)$ を通るので、その方程式は次のように表される。

$$y - 3 = m(x - 1)$$

すなわち、$y = mx - m + 3$ である。この直線の $x$ 切片を求めるために $y = 0$ とすると、$mx = m - 3$ となる。 $m < 0$ より $m \neq 0$ であるから、$x = \frac{m - 3}{m}$ となる。また、$x = 0$ とすると $y$ 切片は $-m + 3$ となる。

$m < 0$ であるから、$x$ 切片 $\frac{m - 3}{m} > 0$、$y$ 切片 $-m + 3 > 0$ である。直線と $x$ 軸、$y$ 軸で囲まれる図形は直角三角形であり、その面積が $9$ であるから、次の式が成り立つ。

$$\frac{1}{2} \cdot \frac{m - 3}{m} \cdot (-m + 3) = 9$$

両辺に $2m$ を掛けて整理する。

$$-(m - 3)^2 = 18m$$

$$-(m^2 - 6m + 9) = 18m$$

$$m^2 + 12m + 9 = 0$$

これを解くと、$m = -6 \pm \sqrt{36 - 9} = -6 \pm 3\sqrt{3}$ となる。 $3\sqrt{3} = \sqrt{27} < \sqrt{36} = 6$ であるから、$m = -6 \pm 3\sqrt{3}$ はともに $m < 0$ を満たす。

(i) $m = -6 + 3\sqrt{3}$ のとき

$y$ 切片は $-(-6 + 3\sqrt{3}) + 3 = 9 - 3\sqrt{3}$ となる。 $x$ 切片は面積が $9$ であることを利用して、$\frac{18}{9 - 3\sqrt{3}} = \frac{6}{3 - \sqrt{3}} = 3 + \sqrt{3}$ となる。

(ii) $m = -6 - 3\sqrt{3}$ のとき

$y$ 切片は $-(-6 - 3\sqrt{3}) + 3 = 9 + 3\sqrt{3}$ となる。 $x$ 切片は面積が $9$ であることを利用して、$\frac{18}{9 + 3\sqrt{3}} = \frac{6}{3 + \sqrt{3}} = 3 - \sqrt{3}$ となる。

解説

図形の面積や軸との交点が関わる問題では、$x$ 切片と $y$ 切片を用いた直線の方程式 $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ を用いると計算が簡略化されることが多い。本問でも、傾きを文字でおく解法2に比べて、切片を文字でおく解法1の方が扱う方程式の次数や構造がシンプルになる。直線の傾きが負であり、第1象限の点 $(1, 3)$ を通ることから、両切片が正になるという図形的な位置関係を初手で把握しておくことが重要である。