数学2 面積・接線 問題 12 解説

方針・初手

2つの曲線の交点の $x$ 座標を求め、積分区間を決定する。 次に、その区間における2つの曲線の上下関係を調べ、上の曲線から下の曲線の式を引いたものを定積分して面積を求める。

解法1

与えられた2つの曲線を以下のように置く。

$C_1 : y = -x^2 + 4x - 2$ $C_2 : y = x^2 - 4x + 4$

まず、$C_1$ と $C_2$ の交点の $x$ 座標を求める。 連立方程式として $y$ を消去すると、

$$ -x^2 + 4x - 2 = x^2 - 4x + 4 $$

整理して、

$$ 2x^2 - 8x + 6 = 0 $$

両辺を $2$ で割って、

$$ x^2 - 4x + 3 = 0 $$

左辺を因数分解すると、

$$ (x - 1)(x - 3) = 0 $$

よって、交点の $x$ 座標は $x = 1, 3$ である。

区間 $1 \leqq x \leqq 3$ において、$C_1$ と $C_2$ の上下関係を調べる。 上の式の計算過程から、

$$ (-x^2 + 4x - 2) - (x^2 - 4x + 4) = -2(x - 1)(x - 3) $$

$1 \leqq x \leqq 3$ の範囲では $(x - 1)(x - 3) \leqq 0$ であるから、$-2(x - 1)(x - 3) \geqq 0$ となる。 したがって、この区間では $C_1$ が $C_2$ の上側（または一致）にある。

求める面積を $S$ とすると、$S$ は以下の定積分で計算できる。

$$ S = \int_{1}^{3} \left\{ (-x^2 + 4x - 2) - (x^2 - 4x + 4) \right\} dx $$

$$ S = \int_{1}^{3} (-2x^2 + 8x - 6) dx $$

$$ S = -2 \int_{1}^{3} (x - 1)(x - 3) dx $$

ここで、定積分の公式 $\int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)(x - \beta) dx = -\frac{1}{6}(\beta - \alpha)^3$ を用いると、

$$ S = -2 \left\{ -\frac{1}{6} (3 - 1)^3 \right\} $$

$$ S = \frac{1}{3} \cdot 2^3 $$

$$ S = \frac{8}{3} $$

解説

2つの放物線で囲まれた部分の面積を求める典型的な問題である。 交点を求める際に導かれる2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ $(\alpha < \beta)$ としたとき、面積は定積分の公式を利用して効率的に計算できる。 具体的には、被積分関数が $a(x-\alpha)(x-\beta)$ と因数分解できるため、$\frac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3$ の形で面積を求めることができる。この計算技法は「1/6公式」と呼ばれ、計算ミスを減らし時間短縮に繋がるため、積極的に活用したい。

答え

$$ \frac{8}{3} $$