数学2 面積・接線 問題 13 解説

方針・初手

2つの放物線の方程式を連立させ、交点の $x$ 座標を求める。交点の座標から積分区間を決定し、面積を定積分で表す。このとき、定数 $a$ の値によって2つの放物線の上下関係が変わるため、被積分関数に絶対値をつけて処理するか、$a > 1$ と $a < 1$ で場合分けを行う。

解法1

2つの放物線の方程式から $y$ を消去すると

$$x^2 = ax^2 - a + 1$$

整理して

$$(a - 1)x^2 - (a - 1) = 0$$

$$(a - 1)(x^2 - 1) = 0$$

問題の条件より $a \neq 1$ であるから、両辺を $a - 1$ で割ることができて

$$x^2 - 1 = 0$$

これを解いて $x = \pm 1$ となる。 したがって、2つの放物線は常に $x = -1$ と $x = 1$ で交わる。

区間 $-1 \leqq x \leqq 1$ において、2つの放物線で囲まれる図形の面積 $S$ は、絶対値を用いて次のように立式できる。

$$S = \int_{-1}^{1} |(ax^2 - a + 1) - x^2| \, dx$$

被積分関数を整理すると

$$S = \int_{-1}^{1} |(a - 1)(x^2 - 1)| \, dx$$

ここで、$|a - 1|$ は $x$ に無関係な定数として積分の外に出すことができる。また、区間 $-1 \leqq x \leqq 1$ において $x^2 - 1 \leqq 0$ であるから、$|x^2 - 1| = -(x^2 - 1)$ となる。よって

$$S = |a - 1| \int_{-1}^{1} -(x^2 - 1) \, dx$$

定積分の計算に公式 $\int_{\alpha}^{\beta} -(x - \alpha)(x - \beta) \, dx = \frac{1}{6}(\beta - \alpha)^3$ を用いると

$$S = |a - 1| \cdot \frac{1}{6} \{ 1 - (-1) \}^3$$

$$S = \frac{4}{3} |a - 1|$$

面積が $2$ となるので

$$\frac{4}{3} |a - 1| = 2$$

$$|a - 1| = \frac{3}{2}$$

絶対値を外して方程式を解く。

$$a - 1 = \pm \frac{3}{2}$$

$$a = 1 \pm \frac{3}{2}$$

$$a = \frac{5}{2}, -\frac{1}{2}$$

これらは、問題の条件である $a \neq 0, 1$ をともに満たしている。

解説

2つの放物線で囲まれた図形の面積を求める標準的な問題である。

交点の $x$ 座標を求める方程式を立てると、定数 $a$ が因数分解によって分離でき、交点が定点となることがこの問題の最大のポイントである。積分区間が定数となるため、計算の見通しが立てやすい。

また、面積の積分計算においては、2曲線の上下関係が $a$ と $1$ の大小関係によって逆転する。$a > 1$ と $a < 1$ で場合分けを行ってもよいが、面積を求める被積分関数全体に絶対値をつけて処理することで、場合分けを省略し簡潔に解き進めることができる。計算の過程では、いわゆる $\frac{1}{6}$ 公式を利用することで計算量を減らし、ミスのリスクを抑えることができる。

答え

$a = \frac{5}{2}$

$a = -\frac{1}{2}$