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数学2 面積・接線問題 14 解説

方針・初手

接点の $x$ 座標を $t$ とおき、接線の方程式を立てる。その接線が原点を通るという条件から、$t$ の方程式を導く。原点から接線が2本引ける条件と、それらが直交するという条件（傾きの積が $-1$）を用いて $k$ の値を決定する。面積は、放物線と接線の上下関係に注意して定積分を計算する。

解法1

(1)

放物線 $y = x^2 + 2x + k$ を $C$ とし、$f(x) = x^2 + 2x + k$ とおく。

$f'(x) = 2x + 2$ である。

$C$ 上の点 $(t, t^2 + 2t + k)$ における接線の方程式は、

$$y - (t^2 + 2t + k) = (2t + 2)(x - t)$$

すなわち、

$$y = (2t + 2)x - t^2 + k$$

となる。この接線が原点 $(0, 0)$ を通るので、

$$0 = -t^2 + k$$

$$t^2 = k$$

という方程式が得られる。原点から2本の接線が引けるとき、この $t$ についての2次方程式は異なる2つの実数解をもつため、$k > 0$ である。

このときの2つの解を $\alpha, \beta$ とすると、解と係数の関係より、

$$\alpha + \beta = 0$$

$$\alpha \beta = -k$$

が成り立つ。2本の接線の傾きはそれぞれ $2\alpha + 2, 2\beta + 2$ であり、これらが互いに垂直に交わるので、傾きの積は $-1$ である。よって、

$$(2\alpha + 2)(2\beta + 2) = -1$$

展開して整理すると、

$$4\alpha \beta + 4(\alpha + \beta) + 4 = -1$$

これに $\alpha + \beta = 0, \alpha \beta = -k$ を代入すると、

$$-4k + 0 + 4 = -1$$

$$4k = 5$$

$$k = \frac{5}{4}$$

これは $k > 0$ を満たしている。

(2)

(1)より、$k = \frac{5}{4}$ であるから、接点の $x$ 座標を満たす方程式は $t^2 = \frac{5}{4}$ となり、$t = \pm \frac{\sqrt{5}}{2}$ である。

2つの接点の $x$ 座標を $\alpha = -\frac{\sqrt{5}}{2}, \beta = \frac{\sqrt{5}}{2}$ とする。

2本の接線の方程式は $y = (2\alpha + 2)x, y = (2\beta + 2)x$ となる。これらの交点は原点 $(0,0)$ である。

求める面積 $S$ は、区間 $\alpha \leqq x \leqq 0$ において放物線と接線 $y = (2\alpha + 2)x$ の間で囲まれる部分と、区間 $0 \leqq x \leqq \beta$ において放物線と接線 $y = (2\beta + 2)x$ の間で囲まれる部分の和である。

放物線から接線を引いた式は、それぞれ $(x - \alpha)^2$ および $(x - \beta)^2$ となるので、

$$S = \int_{\alpha}^{0} (x - \alpha)^2 dx + \int_{0}^{\beta} (x - \beta)^2 dx$$

$$S = \left[ \frac{(x - \alpha)^3}{3} \right]_{\alpha}^{0} + \left[ \frac{(x - \beta)^3}{3} \right]_{0}^{\beta}$$

$$S = \frac{-\alpha^3}{3} - 0 + 0 - \frac{-\beta^3}{3}$$

$$S = \frac{\beta^3 - \alpha^3}{3}$$

ここで $\alpha = -\frac{\sqrt{5}}{2}, \beta = \frac{\sqrt{5}}{2}$ を代入すると、

$$S = \frac{1}{3} \left\{ \left( \frac{\sqrt{5}}{2} \right)^3 - \left( -\frac{\sqrt{5}}{2} \right)^3 \right\}$$

$$S = \frac{2}{3} \left( \frac{5\sqrt{5}}{8} \right)$$

$$S = \frac{5\sqrt{5}}{12}$$