数学2 面積・接線 問題 15 解説

方針・初手

曲線 $y=ax(1-x)$ と $x$ 軸で囲まれる部分の面積と、2つの曲線 $y=ax(1-x)$ と $y=x^2$ で囲まれる部分の面積をそれぞれ定積分で求める。計算の際は定積分の公式（いわゆる $\frac{1}{6}$ 公式）を活用する。その後、後者の面積が前者の面積の半分になるという条件から、定数 $a$ についての方程式を立てて解く。

解法1

曲線 $y=ax(1-x)$ と $x$ 軸の交点の $x$ 座標は、$ax(1-x) = 0$ より $x=0, 1$ である。

$a>0$ より、この曲線は上に凸の放物線であり、曲線と $x$ 軸で囲まれる部分の面積を $S$ とすると、以下のようになる。

$$S = \int_{0}^{1} ax(1-x) dx = -a \int_{0}^{1} x(x-1) dx = \frac{a}{6}$$

次に、曲線 $y=ax(1-x)$ と曲線 $y=x^2$ の交点の $x$ 座標を求めるため、2式を連立する。

$$ax(1-x) = x^2$$

$$(a+1)x^2 - ax = 0$$

$$x \{ (a+1)x - a \} = 0$$

これを解くと、$x=0, \frac{a}{a+1}$ である。

$a>0$ より、$0 < \frac{a}{a+1} < 1$ が成り立つ。したがって、曲線 $y=x^2$ は、曲線 $y=ax(1-x)$ と $x$ 軸で囲まれる領域を上下の2つに分割する。

この2つの曲線の上下関係は、$0 \leqq x \leqq \frac{a}{a+1}$ において $ax(1-x) \geqq x^2$ である。

2つの曲線で囲まれる部分の面積を $T$ とすると、以下の定積分で表される。

$$T = \int_{0}^{\frac{a}{a+1}} \{ ax(1-x) - x^2 \} dx = -(a+1) \int_{0}^{\frac{a}{a+1}} x \left( x - \frac{a}{a+1} \right) dx$$

定積分の公式を用いると、次のように計算できる。

$$T = \frac{a+1}{6} \left( \frac{a}{a+1} - 0 \right)^3 = \frac{a^3}{6(a+1)^2}$$

問題の条件より、曲線 $y=x^2$ によって面積が2等分されるため、$T = \frac{1}{2}S$ が成り立つ。

$$\frac{a^3}{6(a+1)^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{6}$$

$a>0$ であるから、両辺に $\frac{12(a+1)^2}{a}$ を掛けて整理する。

$$2a^2 = (a+1)^2$$

$$a^2 - 2a - 1 = 0$$

これを解くと、$a = 1 \pm \sqrt{2}$ となる。

$a>0$ であるから、求める $a$ の値は $a = 1 + \sqrt{2}$ である。

解説

放物線と直線、あるいは2つの放物線で囲まれた面積を求める際に頻出の定積分の公式 $\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)(x-\beta) dx = -\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3$ を適切に用いることで、計算量を大幅に減らすことができる。また、面積を2等分するという条件は、分割された一方の面積が全体の面積の半分に等しいとして立式するのが定石である。本問では、2等分されたうちの上側の領域（2曲線で囲まれた領域）の面積を計算するほうが計算の見通しが良い。

答え

$a = 1 + \sqrt{2}$