数学2 面積・接線 問題 16 解説

方針・初手

• (1)は、放物線と直線の交点の $x$ 座標を求める2次方程式を立式し、それが指定された区間に異なる2つの実数解をもつ条件を考える。「解の配置（解の存在範囲）問題」として処理する。
• (2)は、3つの部分の面積の和を定積分で表す。積分区間ごとに被積分関数の上下関係が変わることに注意する。計算においては、式の変形を工夫して $\int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)(x - \beta) dx = -\frac{1}{6}(\beta - \alpha)^3$ の公式を活用し、計算量を減らすことが重要である。

解法1

(1)

放物線 $C: y = x^2$ と直線 $l: y = x + k$ の交点の $x$ 座標は、方程式

$$x^2 = x + k \iff x^2 - x - k = 0$$

の実数解である。

$f(x) = x^2 - x - k$ とおく。 $C$ と $l$ が $-2 < x < 2$ の範囲で2点で交わるための条件は、2次方程式 $f(x) = 0$ が $-2 < x < 2$ の範囲に異なる2つの実数解をもつことである。 放物線 $y = f(x)$ は下に凸であり、軸は直線 $x = \frac{1}{2}$ である。 したがって、求める条件は次の(i)〜(iii)をすべて満たすことである。

(i) $f(x) = 0$ の判別式を $D$ とすると、$D > 0$ である。

$$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-k) = 1 + 4k > 0$$

よって、$k > -\frac{1}{4}$ である。

(ii) 放物線の軸が $-2 < x < 2$ の範囲にある。 軸は $x = \frac{1}{2}$ であり、これは $-2 < \frac{1}{2} < 2$ を満たしている。

(iii) 区間の端点における $y$ 座標が正である。すなわち、$f(-2) > 0$ かつ $f(2) > 0$ である。

$$f(-2) = (-2)^2 - (-2) - k = 6 - k > 0 \iff k < 6$$

$$f(2) = 2^2 - 2 - k = 2 - k > 0 \iff k < 2$$

これらをともに満たす範囲は $k < 2$ である。

(i)〜(iii)の共通範囲を求めて、

$$-\frac{1}{4} < k < 2$$

(2)

$k$ が(1)の条件を満たすとき、$f(x) = 0$ の2つの実数解を $\alpha, \beta$ ($\alpha < \beta$) とおく。 (1)より、$-2 < \alpha < \beta < 2$ である。 区間 $[-2, \alpha]$ および $[\beta, 2]$ では $x^2 \geqq x + k$、$[\alpha, \beta]$ では $x^2 \leqq x + k$ であるから、求める面積 $S$ は、

$$S = \int_{-2}^{\alpha} (x^2 - x - k) dx + \int_{\alpha}^{\beta} \{ (x + k) - x^2 \} dx + \int_{\beta}^{2} (x^2 - x - k) dx$$

と表せる。これを以下のように変形して計算する。

$$S = \int_{-2}^{2} (x^2 - x - k) dx - 2\int_{\alpha}^{\beta} (x^2 - x - k) dx$$

第1項の定積分は、

$$\int_{-2}^{2} (x^2 - x - k) dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 - kx \right]_{-2}^{2}$$

$$= \left( \frac{8}{3} - 2 - 2k \right) - \left( -\frac{8}{3} - 2 + 2k \right) = \frac{16}{3} - 4k$$

となる。

第2項について、$\alpha, \beta$ は $x^2 - x - k = 0$ の解であるから、

$$\int_{\alpha}^{\beta} (x^2 - x - k) dx = \int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)(x - \beta) dx = -\frac{1}{6}(\beta - \alpha)^3$$

となる。ここで、2次方程式の解の公式より $\alpha, \beta = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4k}}{2}$ であるから、

$$\beta - \alpha = \frac{1 + \sqrt{1 + 4k}}{2} - \frac{1 - \sqrt{1 + 4k}}{2} = \sqrt{1 + 4k}$$

したがって、

$$- 2\int_{\alpha}^{\beta} (x^2 - x - k) dx = 2 \cdot \frac{1}{6} (\sqrt{1 + 4k})^3 = \frac{1}{3}(1 + 4k)^{\frac{3}{2}}$$

となる。

ゆえに、求める面積 $S$ は、

$$S = \frac{16}{3} - 4k + \frac{1}{3}(1 + 4k)^{\frac{3}{2}}$$

解説

• (1)の2次方程式の解の配置問題は、グラフをイメージして「判別式」「軸の位置」「端点での値」の3条件を立式する典型的なアプローチが有効である。
• (2)の面積計算において、$\int_{-2}^{\alpha} f(x) dx - \int_{\alpha}^{\beta} f(x) dx + \int_{\beta}^{2} f(x) dx$ を $\int_{-2}^{2} f(x) dx - 2\int_{\alpha}^{\beta} f(x) dx$ と変形する式変形は、計算の負担を大幅に軽減するテクニックである。この形を作ることで、複雑な $\alpha, \beta$ を直接代入する手間を省き、いわゆる「$\frac{1}{6}$ 公式」を適用しやすくしている。

答え

(1) $-\frac{1}{4} < k < 2$

(2) $S = \frac{16}{3} - 4k + \frac{1}{3}(1 + 4k)^{\frac{3}{2}}$