数学2 面積・接線 問題 19 解説

方針・初手

(1) は微分を用いて接線の傾きを求め、そこから法線の傾きを算出して直線の方程式を立てる。 (2) は求めた直線 $l$ の方程式において $y = 0$ とした $x$ 座標（$x$ 切片）を求め、それが $4a$ より大きいという不等式を解く。 (3) は放物線 $C$ と直線 $l$ の交点のうち $x \geqq 0$ の範囲にあるものを求め、区間における両者の上下関係を把握して定積分を計算する。

解法1

(1) 放物線 $C$ の方程式を $f(x) = x^2 + \frac{1}{2}$ とおく。

これを微分すると $f'(x) = 2x$ となる。 したがって、点 $\text{A}\left(a, a^2 + \frac{1}{2}\right)$ における接線の傾きは $2a$ である。

条件 $a > 0$ より $2a \neq 0$ であるから、点 A における法線（直線 $l$）の傾きは $-\frac{1}{2a}$ となる。

これより、直線 $l$ の方程式は以下のようになる。

$$y - \left(a^2 + \frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2a}(x - a)$$

$$y = -\frac{1}{2a}x + \frac{1}{2} + a^2 + \frac{1}{2}$$

$$y = -\frac{1}{2a}x + a^2 + 1$$

(2) 直線 $l$ が $x$ 軸と交わる点の $x$ 座標を求める。 $y = 0$ とすると、次の方程式が得られる。

$$0 = -\frac{1}{2a}x + a^2 + 1$$

$$\frac{1}{2a}x = a^2 + 1$$

$$x = 2a(a^2 + 1) = 2a^3 + 2a$$

条件より、この $x$ 座標が $4a$ より大きいので、次の不等式が成り立つ。

$$2a^3 + 2a > 4a$$

$$2a^3 - 2a > 0$$

$$2a(a^2 - 1) > 0$$

$$2a(a - 1)(a + 1) > 0$$

$a > 0$ であるから、$2a > 0$ かつ $a + 1 > 0$ である。 したがって、両辺を正の数 $2a(a + 1)$ で割ることができ、以下の範囲を得る。

$$a - 1 > 0$$

$$a > 1$$

(3) 放物線 $C$ と直線 $l$ の交点の $x$ 座標は、次の方程式の解である。

$$x^2 + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2a}x + a^2 + 1$$

$$x^2 + \frac{1}{2a}x - a^2 - \frac{1}{2} = 0$$

点 A が交点の1つであるため、$x = a$ はこの方程式の解である。 したがって、左辺は $x - a$ を因数にもち、次のように因数分解できる。

$$(x - a)\left(x + a + \frac{1}{2a}\right) = 0$$

$a > 0$ のとき $a + \frac{1}{2a} > 0$ であるため、$x \geqq 0$ の範囲における交点は $x = a$ のみである。

また、区間 $a \leqq x \leqq 4a$ において、両者の差を調べると以下のようになる。

$$\left(x^2 + \frac{1}{2}\right) - \left(-\frac{1}{2a}x + a^2 + 1\right) = (x - a)\left(x + a + \frac{1}{2a}\right) \geqq 0$$

よって、この区間では放物線 $C$ は直線 $l$ の上側（または同じ高さ）にある。

以上より、放物線 $C$ の $x \geqq 0$ の部分と直線 $l$、および直線 $x = 4a$ で囲まれた部分の面積 $S$ は、次のように定積分で求められる。

$$S = \int_a^{4a} \left\{ \left( x^2 + \frac{1}{2} \right) - \left( -\frac{1}{2a}x + a^2 + 1 \right) \right\} dx$$

$$= \int_a^{4a} \left( x^2 + \frac{1}{2a}x - a^2 - \frac{1}{2} \right) dx$$

$$= \left[ \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{4a}x^2 - \left(a^2 + \frac{1}{2}\right)x \right]_a^{4a}$$

ここで、$x = 4a$ を代入した値から $x = a$ を代入した値を引いて計算する。

$$S = \left\{ \frac{64}{3}a^3 + \frac{16a^2}{4a} - \left(a^2 + \frac{1}{2}\right) \cdot 4a \right\} - \left\{ \frac{1}{3}a^3 + \frac{a^2}{4a} - \left(a^2 + \frac{1}{2}\right) \cdot a \right\}$$

$$= \left( \frac{64}{3}a^3 + 4a - 4a^3 - 2a \right) - \left( \frac{1}{3}a^3 + \frac{1}{4}a - a^3 - \frac{1}{2}a \right)$$

$$= \left( \frac{52}{3}a^3 + 2a \right) - \left( -\frac{2}{3}a^3 - \frac{1}{4}a \right)$$

$$= \left( \frac{52}{3} + \frac{2}{3} \right)a^3 + \left( 2 + \frac{1}{4} \right)a$$

$$= 18a^3 + \frac{9}{4}a$$

解説

法線の方程式、高次不等式の解法、放物線と直線の面積計算といった基本的なテーマを組み合わせた標準的な問題である。

(3) の面積計算では、定積分の被積分関数が $x=a$ で交わることから必ず $(x-a)$ を因数にもつ。このことを利用して因数分解の形で式を整理しておくと、交点や上下関係の確認がスムーズになり、計算ミスも減らすことができる。積分計算自体は展開してから行うのが平易である。

答え

(1) $y = -\frac{1}{2a}x + a^2 + 1$

(2) $a > 1$

(3) $18a^3 + \frac{9}{4}a$