トップ› 基礎問題› 数学2› 積分法› 面積・接線› 問題 22

数学2 面積・接線問題 22 解説

方針・初手

$C_1$ の接線 $l$ の方程式を導出する。その後、$l$ と $C_2$ が接するという条件から判別式を用いて $a, b$ の関係式を導く。最後に、定められた $a, b$ の値を用いて交点と接点の座標を特定し、積分によって面積を計算する。

解法1

(1) $C_1: y=x^2$ について、導関数は $y'=2x$ である。

接線 $l$ の傾きは $2$ であるから、接点の $x$ 座標は、

$$2x = 2 \iff x = 1$$

接点の座標は $(1, 1)$ である。よって、接線 $l$ の方程式は、

$$y - 1 = 2(x - 1)$$

$$y = 2x - 1$$

(2) $l$ が $C_2: y=b(x-a)^2+3a$ に接するとき、方程式 $b(x-a)^2+3a = 2x-1$ は重解をもつ。

展開して整理すると、

$$bx^2 - 2(ab+1)x + ba^2+3a+1 = 0$$

条件より $b \neq 0$ であるから、これは2次方程式である。この方程式の判別式を $D$ とすると、$D=0$ であるから、

$$\frac{D}{4} = (ab+1)^2 - b(ba^2+3a+1) = 0$$

$$a^2b^2 + 2ab + 1 - a^2b^2 - 3ab - b = 0$$

$$-ab - b + 1 = 0$$

$$b(a+1) = 1$$

$b \neq 0$ より $a+1 \neq 0$ すなわち $a \neq -1$ である。よって、

$$b = \frac{1}{a+1}$$

(3) $a=3$ のとき、(2) の結果より $b = \frac{1}{3+1} = \frac{1}{4}$ である。

これより、$C_2$ の方程式は $y = \frac{1}{4}(x-3)^2 + 9$ となる。

$C_1$ と $C_2$ の交点の $x$ 座標を求めるため、連立する。

$$x^2 = \frac{1}{4}(x-3)^2 + 9$$

$$4x^2 = x^2 - 6x + 9 + 36$$

$$3x^2 + 6x - 45 = 0$$

$$x^2 + 2x - 15 = 0$$

$$(x+5)(x-3) = 0$$

よって、交点の $x$ 座標は $x = -5, 3$ である。

次に、$C_2$ と $l$ の接点の $x$ 座標を求める。(2) で導いた2次方程式に $a=3, b=\frac{1}{4}$ を代入して、

$$\frac{1}{4}x^2 - 2\left(3 \cdot \frac{1}{4} + 1\right)x + \frac{1}{4} \cdot 9 + 3 \cdot 3 + 1 = 0$$

$$\frac{1}{4}x^2 - \frac{7}{2}x + \frac{49}{4} = 0$$

$$x^2 - 14x + 49 = 0$$

$$(x-7)^2 = 0$$

よって、接点は $x=7$ である。

また、(1) より $C_1$ と $l$ の接点は $x=1$ である。

$x=3$ における $C_1, C_2$ の $y$ 座標はともに $y=3^2=9$ であり、同点における $l$ の $y$ 座標は $y=2 \cdot 3 - 1 = 5$ である。

以上より、区間 $1 \leqq x \leqq 3$ においては $C_1$ が $l$ の上側にあり、区間 $3 \leqq x \leqq 7$ においては $C_2$ が $l$ の上側にある。グラフの概形はこれらの点を通る2つの放物線と1つの直線となる。

求める面積を $S$ とすると、

$$S = \int_{1}^{3} \{x^2 - (2x - 1)\} dx + \int_{3}^{7} \left\{\frac{1}{4}(x-3)^2 + 9 - (2x - 1)\right\} dx$$

それぞれの被積分関数は接点の情報から完全平方式にまとまるため、

$$S = \int_{1}^{3} (x-1)^2 dx + \int_{3}^{7} \frac{1}{4}(x-7)^2 dx$$

$$S = \left[ \frac{(x-1)^3}{3} \right]_{1}^{3} + \left[ \frac{(x-7)^3}{12} \right]_{3}^{7}$$

$$S = \left( \frac{8}{3} - 0 \right) + \left( 0 - \frac{(-4)^3}{12} \right)$$

$$S = \frac{8}{3} + \frac{64}{12}$$

$$S = \frac{8}{3} + \frac{16}{3} = 8$$

解説

微分と積分を用いた基本的な面積計算の問題である。接線の方程式、2曲線の交点、曲線と直線の接点をそれぞれ正確に求めることが必要となる。面積の計算においては、放物線と直線の間の面積を積分する際、被積分関数が $(x-\alpha)^2$ の形にまとまることを利用すると、定積分の計算を大幅に簡略化できる。概形を描くにあたっては、交点や接点の位置関係を正しく把握することが重要である。