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数学2 面積・接線問題 24 解説

方針・初手

放物線と直線が接するという条件は、放物線と直線の式から $y$ を消去して得られる $x$ の2次方程式が重解をもつことと同値である。したがって、判別式 $D = 0$ を用いて立式する。後半の面積計算では、放物線と直線が接することから、被積分関数が $(x-\alpha)^2$ の形になることを利用して計算を工夫する。

解法1

(1)

放物線 $C: y = x^2 + px + q$ と直線 $l: y = x$ の方程式から $y$ を消去すると、

$$x^2 + px + q = x$$

$$x^2 + (p-1)x + q = 0$$

となる。$C$ と $l$ が接するためには、この $x$ についての2次方程式が重解をもてばよい。判別式を $D_1$ とすると、$D_1 = 0$ であるから、

$$D_1 = (p-1)^2 - 4q = 0$$

これを $q$ について解くと、

$$q = \frac{(p-1)^2}{4}$$

を得る。

(2)

放物線 $C$ と直線 $m: y = -2x$ の方程式から $y$ を消去すると、

$$x^2 + px + q = -2x$$

$$x^2 + (p+2)x + q = 0$$

となる。$C$ と $m$ が接するためには、この2次方程式が重解をもてばよい。判別式を $D_2$ とすると、$D_2 = 0$ であるから、

$$D_2 = (p+2)^2 - 4q = 0$$

これを $q$ について解くと、

$$q = \frac{(p+2)^2}{4}$$

を得る。

(3)

(1), (2) の結果から $q$ を消去すると、

$$\frac{(p-1)^2}{4} = \frac{(p+2)^2}{4}$$

$$(p-1)^2 = (p+2)^2$$

$$p^2 - 2p + 1 = p^2 + 4p + 4$$

$$-6p = 3$$

よって、$p = -\frac{1}{2}$ である。これを (1) の結果に代入して、

$$q = \frac{\left(-\frac{1}{2} - 1\right)^2}{4} = \frac{\left(-\frac{3}{2}\right)^2}{4} = \frac{\frac{9}{4}}{4} = \frac{9}{16}$$

となる。したがって、$C$ の方程式は $y = x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{9}{16}$ となる。

次に接点の座標を求める。$C$ と $l$ の接点の $x$ 座標は、$x^2 + (p-1)x + q = 0$ の重解であるから、

$$x = -\frac{p-1}{2} = -\frac{-\frac{1}{2} - 1}{2} = \frac{3}{4}$$

このとき、$y$ 座標は $l: y = x$ より $y = \frac{3}{4}$ となる。したがって、$C$ と $l$ の接点の座標は $\left(\frac{3}{4}, \frac{3}{4}\right)$ である。

同様に、$C$ と $m$ の接点の $x$ 座標は、$x^2 + (p+2)x + q = 0$ の重解であるから、

$$x = -\frac{p+2}{2} = -\frac{-\frac{1}{2} + 2}{2} = -\frac{3}{4}$$

このとき、$y$ 座標は $m: y = -2x$ より $y = -2 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) = \frac{3}{2}$ となる。したがって、$C$ と $m$ の接点の座標は $\left(-\frac{3}{4}, \frac{3}{2}\right)$ である。

最後に面積を求める。$C$ と $l$ は $x = \frac{3}{4}$ で接し、$y$ 軸は $x=0$ である。積分区間 $0 \leqq x \leqq \frac{3}{4}$ において、下に凸の放物線 $C$ は接線 $l$ より上側にある。したがって、求める面積は、

$$\int_0^{\frac{3}{4}} \left\{ (x^2 + px + q) - x \right\} dx = \int_0^{\frac{3}{4}} \left( x - \frac{3}{4} \right)^2 dx$$

$$= \left[ \frac{1}{3} \left( x - \frac{3}{4} \right)^3 \right]_0^{\frac{3}{4}} = 0 - \frac{1}{3} \left( -\frac{3}{4} \right)^3 = \frac{9}{64}$$

となる。

また、$C$ と $m$ は $x = -\frac{3}{4}$ で接する。積分区間 $-\frac{3}{4} \leqq x \leqq 0$ において、放物線 $C$ は接線 $m$ より上側にある。したがって、求める面積は、

$$\int_{-\frac{3}{4}}^0 \left\{ (x^2 + px + q) - (-2x) \right\} dx = \int_{-\frac{3}{4}}^0 \left( x + \frac{3}{4} \right)^2 dx$$

$$= \left[ \frac{1}{3} \left( x + \frac{3}{4} \right)^3 \right]_{-\frac{3}{4}}^0 = \frac{1}{3} \left( \frac{3}{4} \right)^3 - 0 = \frac{9}{64}$$

となる。

解説

2つの直線に接する放物線の決定と、接点および面積を求める微分積分の標準的な問題である。2次方程式が重解をもつ条件として判別式 $D=0$ を用いるのが定石である。接点の $x$ 座標は、2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の重解が $x = -\frac{b}{2a}$ であることを用いると手早く計算できる。

面積計算においては、放物線と直線が $x=\alpha$ で接するとき、その差が $a(x-\alpha)^2$ と表せることを利用し、積分公式 $\int (x-\alpha)^2 dx = \frac{(x-\alpha)^3}{3} + C$ を用いると計算ミスを防ぐことができる。また、放物線の2つの接線とそれぞれの接点の $x$ 座標の中点となる直線（本問では $y$ 軸）で囲まれた2つの部分の面積は等しくなるという性質も確認できる。