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数学2 面積・接線問題 27 解説

方針・初手

絶対値記号を含む不等式が表す領域を図示し、その面積を求める問題である。

絶対値の中身である $x^2-1$ と $y+2$ の正負によって場合分けをして絶対値記号を外すのが基本方針となる。ただし、与えられた不等式 $f(x, y) = |x^2-1| + |y+2| \leqq 1$ において、$x$ を $-x$ に置き換えても、また $y+2$ の部分に着目して $y$ を $-y-4$ に置き換えても不等式は変化しない。

このことから、領域が $y$ 軸（直線 $x=0$）および直線 $y=-2$ に関して対称であることを利用すると、場合分けや計算の手間を大幅に減らすことができる。

解法1

(1)

与えられた不等式を以下のように表す。

$$|x^2-1| + |y+2| \leqq 1 \quad \cdots \text{①}$$

不等式①において、$x$ を $-x$ に置き換えても $|(-x)^2-1| = |x^2-1|$ であるから不等式は変わらない。また、$y$ を $-y-4$ に置き換えると $|(-y-4)+2| = |-y-2| = |y+2|$ となり、やはり不等式は変わらない。したがって、領域 $D$ は $y$ 軸（直線 $x=0$）および直線 $y=-2$ に関して対称である。よって、$x \geqq 0$ かつ $y \geqq -2$ の範囲で領域を求め、それを対称移動して全体を図示すればよい。

$x \geqq 0$ かつ $y \geqq -2$ のとき、$|y+2| = y+2$ であるから、①は次のように変形できる。

$$|x^2-1| + y + 2 \leqq 1$$

$$y \leqq -|x^2-1| - 1 \quad \cdots \text{②}$$

ここで、絶対値記号を外すために $x^2-1$ の正負で場合分けを行う。

(i) $0 \leqq x \leqq 1$ のとき $x^2-1 \leqq 0$ であるから、$|x^2-1| = -x^2+1$ となる。 ②に代入して整理すると、

$$y \leqq -(-x^2+1) - 1 = x^2-2$$

前提条件 $y \geqq -2$ と合わせて、この範囲における領域は

$$-2 \leqq y \leqq x^2-2$$

(ii) $x > 1$ のとき $x^2-1 > 0$ であるから、$|x^2-1| = x^2-1$ となる。 ②に代入して整理すると、

$$y \leqq -(x^2-1) - 1 = -x^2$$

前提条件 $y \geqq -2$ と合わせて $-2 \leqq y \leqq -x^2$ を得る。これを満たす $x$ が存在するための条件は $-2 \leqq -x^2$ すなわち $x^2 \leqq 2$ であるから、$x > 1$ と合わせて $1 < x \leqq \sqrt{2}$ となる。よって、この範囲における領域は

$$-2 \leqq y \leqq -x^2 \quad (1 < x \leqq \sqrt{2})$$

以上より、第1象限側（$x \geqq 0, y \geqq -2$）における領域は、上の (i), (ii) で求めた部分となる。領域 $D$ 全体は、これを $y$ 軸および直線 $y=-2$ に関して対称移動させたものである。

境界線の方程式は以下の4つの放物線の一部となる。 $y = x^2-2 \quad (-1 \leqq x \leqq 1)$ $y = -x^2 \quad (-\sqrt{2} \leqq x \leqq -1, \ 1 \leqq x \leqq \sqrt{2})$ $y = -x^2-2 \quad (-1 \leqq x \leqq 1)$ $y = x^2-4 \quad (-\sqrt{2} \leqq x \leqq -1, \ 1 \leqq x \leqq \sqrt{2})$

図示すると、点 $(0, -2)$ を中心とし、点 $(\sqrt{2}, -2), (-\sqrt{2}, -2), (0, -2)$ で尖った頂点を持つような、4つの放物線に囲まれた閉領域となる。境界線はすべて含む。

(2)

領域 $D$ は $y$ 軸および直線 $y=-2$ に関して対称であるため、$x \geqq 0$ かつ $y \geqq -2$ の部分の面積を $S_1$ とすると、求める面積 $S$ は $S = 4S_1$ である。

$S_1$ は、区間 $0 \leqq x \leqq 1$ の曲線 $y = x^2-2$ と直線 $y = -2$ で囲まれた面積、および区間 $1 \leqq x \leqq \sqrt{2}$ の曲線 $y = -x^2$ と直線 $y = -2$ で囲まれた面積の和である。

$$\begin{aligned} S_1 &= \int_0^1 \left\{ (x^2-2) - (-2) \right\} dx + \int_1^{\sqrt{2}} \left\{ -x^2 - (-2) \right\} dx \\ &= \int_0^1 x^2 dx + \int_1^{\sqrt{2}} (2-x^2) dx \\ &= \left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_0^1 + \left[ 2x - \frac{1}{3}x^3 \right]_1^{\sqrt{2}} \\ &= \frac{1}{3} + \left( 2\sqrt{2} - \frac{2\sqrt{2}}{3} \right) - \left( 2 - \frac{1}{3} \right) \\ &= \frac{1}{3} + \frac{4\sqrt{2}}{3} - \frac{5}{3} \\ &= \frac{4\sqrt{2} - 4}{3} \end{aligned}$$

したがって、求める面積 $S$ は

$$S = 4S_1 = 4 \times \frac{4\sqrt{2} - 4}{3} = \frac{16(\sqrt{2} - 1)}{3}$$

解法2

(1)

対称性に頼らず、絶対値の中身の正負によって4つの場合に分けて領域 $D$ を求める。

(i) $x^2-1 \geqq 0$ かつ $y+2 \geqq 0$ のときすなわち $x \leqq -1$ または $1 \leqq x$ かつ $y \geqq -2$ のとき、不等式はそのまま絶対値が外れる。

$$(x^2-1) + (y+2) \leqq 1$$

$$y \leqq -x^2$$

前提条件と合わせて、領域は $x \leqq -1$ または $1 \leqq x$ かつ $-2 \leqq y \leqq -x^2$

(ii) $x^2-1 \geqq 0$ かつ $y+2 < 0$ のときすなわち $x \leqq -1$ または $1 \leqq x$ かつ $y < -2$ のとき、不等式は以下のようになる。

$$(x^2-1) - (y+2) \leqq 1$$

$$-y \leqq -x^2+4$$

$$y \geqq x^2-4$$

前提条件と合わせて、領域は $x \leqq -1$ または $1 \leqq x$ かつ $x^2-4 \leqq y < -2$

(iii) $x^2-1 < 0$ かつ $y+2 \geqq 0$ のときすなわち $-1 < x < 1$ かつ $y \geqq -2$ のとき、不等式は以下のようになる。

$$-(x^2-1) + (y+2) \leqq 1$$

$$y \leqq x^2-2$$

前提条件と合わせて、領域は $-1 < x < 1$ かつ $-2 \leqq y \leqq x^2-2$

(iv) $x^2-1 < 0$ かつ $y+2 < 0$ のときすなわち $-1 < x < 1$ かつ $y < -2$ のとき、不等式は以下のようになる。

$$-(x^2-1) - (y+2) \leqq 1$$

$$-x^2+1-y-2 \leqq 1$$

$$y \geqq -x^2-2$$

前提条件と合わせて、領域は $-1 < x < 1$ かつ $-x^2-2 \leqq y < -2$

以上の (i) 〜 (iv) を合わせたものが領域 $D$ である。図示の結果は解法1と同様になる。

(2)

領域 $D$ は $y$ 軸に関して左右対称（偶関数的な振る舞い）であるため、$x \geqq 0$ の部分の面積を計算し、それを2倍して全体の面積 $S$ を求める。

$x \geqq 0$ の範囲において、領域は $x$ の値によって上下の境界が変わる。 $0 \leqq x \leqq 1$ のとき、上端は $y = x^2-2$、下端は $y = -x^2-2$ である。 $1 < x \leqq \sqrt{2}$ のとき、上端は $y = -x^2$、下端は $y = x^2-4$ である。

したがって、面積 $S$ は次のように計算できる。

$$\begin{aligned} S &= 2 \left( \int_0^1 \left\{ (x^2-2) - (-x^2-2) \right\} dx + \int_1^{\sqrt{2}} \left\{ -x^2 - (x^2-4) \right\} dx \right) \\ &= 2 \left( \int_0^1 2x^2 dx + \int_1^{\sqrt{2}} (-2x^2+4) dx \right) \\ &= 2 \left( \left[ \frac{2}{3}x^3 \right]_0^1 + \left[ -\frac{2}{3}x^3 + 4x \right]_1^{\sqrt{2}} \right) \\ &= 2 \left( \frac{2}{3} + \left( -\frac{4\sqrt{2}}{3} + 4\sqrt{2} \right) - \left( -\frac{2}{3} + 4 \right) \right) \\ &= 2 \left( \frac{2}{3} + \frac{8\sqrt{2}}{3} - \frac{10}{3} \right) \\ &= 2 \left( \frac{8\sqrt{2}-8}{3} \right) \\ &= \frac{16(\sqrt{2}-1)}{3} \end{aligned}$$

解説

絶対値を含む不等式の領域を図示する典型問題である。解法2のように地道に4つの場合に分けて絶対値を外す方法でも確実に解くことができるが、計算量が多くなりミスを誘発しやすい。

式を観察して対称性を見抜くことができれば、解法1のように第1象限に相当する部分（今回は対称の中心がずれているため $x \geqq 0, y \geqq -2$ の部分）だけを調べて、残りは対称移動で済ませるのが賢明である。一般に、$|X| + |Y| \leqq 1$ の形は $(X, Y)$ 平面における正方形の領域を表すため、対称性が存在することが多い。

面積の計算においても、対称性を活用して積分区間を分割し、計算を簡略化することが求められる。