数学2 面積・接線 問題 28 解説

方針・初手

関数 $y=f(x)$ と $y=g(x)$ の共有点が P と Q の2つであり、P で接線が一致するという条件から、差の関数 $g(x) - f(x)$ が $(x-p)^2(x-q)$ の形で因数分解できることに着目する。ここから Q での接線の直交条件を定式化し、面積の式と結びつける。

解法1

点 P, Q の $x$ 座標をそれぞれ $p, q$ ($p \neq q$) とする。

点 P で2つのグラフの接線が一致するため、$h(x) = g(x) - f(x)$ とおくと、$h(x) = 0$ は $x = p$ を重解にもち、$x = q$ を解にもつ。 また、$g(x)$ の $x^3$ の係数が $1$ で、$f(x)$ は2次以下の関数であるから、$h(x)$ の $x^3$ の係数も $1$ である。 よって、関数 $h(x)$ は次のように表せる。

$$h(x) = (x-p)^2(x-q)$$

$f(x) = g(x) - h(x)$ であるから、両辺を微分すると

$$f'(x) = g'(x) - h'(x)$$

となる。ここで、$g(x) = x^3$ より $g'(x) = 3x^2$ である。 また、$h'(x)$ は積の微分法により

$$h'(x) = 2(x-p)(x-q) + (x-p)^2$$

となるから、$x = q$ を代入すると第一項が消え、

$$h'(q) = (q-p)^2$$

となる。よって、点 Q における $f(x)$ の接線の傾き $f'(q)$ は

$$f'(q) = g'(q) - h'(q) = 3q^2 - (q-p)^2$$

と表せる。点 Q で2つのグラフの接線が直交するという条件 $f'(q)g'(q) = -1$ より

$$\{ 3q^2 - (q-p)^2 \} \cdot 3q^2 = -1$$

が成り立つ。ここで、$u = q-p$ ($u \neq 0$)、さらに $t = 3q^2$ ($t \ge 0$) とおくと、上の式は

$$(t - u^2)t = -1$$

$$t^2 - u^2t + 1 = 0$$

と書き換えられる。 実数 $q$ が存在するためには、この $t$ についての2次方程式が $t \ge 0$ の範囲に実数解をもつ必要がある。 判別式を $D$ とすると、$D \ge 0$ より

$$D = (-u^2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = u^4 - 4 \ge 0$$

$$u^4 \ge 4$$

を満たさなければならない。このとき、解の公式より $t = \frac{u^2 \pm \sqrt{u^4-4}}{2}$ であり、$u^4 \ge 4$ のもとで $u^2 \ge 2 > 0$ であるため、$t$ は必ず正の実数となり、$t \ge 0$ を満たす。 したがって、直交条件を満たす実数 $p, q$ が存在する条件は $u^4 \ge 4$ である。

次に、2つのグラフで囲まれた部分の面積 $S$ は、

$$S = \int_{\min(p, q)}^{\max(p, q)} |g(x) - f(x)| dx = \int_{\min(p, q)}^{\max(p, q)} |(x-p)^2(x-q)| dx$$

となる。これは定積分計算により次のように求まる。

$$S = \frac{|p-q|^4}{12} = \frac{(q-p)^4}{12} = \frac{u^4}{12}$$

条件 $u^4 \ge 4$ を用いると、面積 $S$ の最小値は

$$S \ge \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$$

と求まる。

解説

接する条件を $g(x) - f(x) = (x-p)^2(x-q)$ の形で処理するのが基本かつ最大のポイントである。$f(x)$ の係数 $a, b, c$ をまともに求めてから $f'(q)$ を計算しようとすると手間がかかるが、$f'(x) = g'(x) - h'(x)$ を利用することで計算量を大幅に減らすことができる。また、$(q-p)$ をひとつの文字で置き換え、さらに $3q^2 = t$ と置き換えることで、直交条件を簡潔な2次方程式に帰着させる処理も重要である。

答え

$$\frac{1}{3}$$