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数学2 面積・接線問題 29 解説

方針・初手

(1)は微分を用いて接線の方程式を導出し、それらを連立して交点を求める。
(2)は放物線と接線の位置関係を把握し、積分により面積を計算する。その際、交点 $\text{P}$ の $x$ 座標を境に積分区間を分ける。
(3)は(1)で求めた各点の座標を用いて距離の2乗を計算し、$t$ の2次関数として最小値を求める。

解法1

(1) $y = x^2 + 1$ について、$y' = 2x$ である。

点 $\text{A}(t, t^2+1)$ における接線 $l_1$ の方程式は、傾きが $2t$ であるから、

$$y - (t^2+1) = 2t(x - t)$$

すなわち、

$$l_1 : y = 2tx - t^2 + 1$$

点 $\text{B}(t+1, (t+1)^2+1)$ における接線 $l_2$ の方程式は、上の式で $t$ を $t+1$ に置き換えて、

$$l_2 : y = 2(t+1)x - (t+1)^2 + 1$$

これら $l_1, l_2$ の交点 $\text{P}$ の $x$ 座標は、2式を連立して、

$$2tx - t^2 + 1 = 2(t+1)x - (t+1)^2 + 1$$

$$2tx - t^2 = 2tx + 2x - t^2 - 2t - 1$$

$$2x = 2t + 1$$

よって、

$$x = t + \frac{1}{2}$$

これを $l_1$ の方程式に代入すると、

$$y = 2t\left(t + \frac{1}{2}\right) - t^2 + 1 = t^2 + t + 1$$

したがって、交点 $\text{P}$ の座標は $\left(t + \frac{1}{2}, t^2 + t + 1\right)$ である。

(2) 放物線 $y = x^2 + 1$ と2接線 $l_1, l_2$ で囲まれる図形について考える。区間 $t \leqq x \leqq t+\frac{1}{2}$ では放物線と $l_1$、区間 $t+\frac{1}{2} \leqq x \leqq t+1$ では放物線と $l_2$ によって囲まれる。

放物線と $l_1$ の差は、

$$(x^2 + 1) - (2tx - t^2 + 1) = x^2 - 2tx + t^2 = (x - t)^2$$

放物線と $l_2$ の差は、

$$(x^2 + 1) - \{2(t+1)x - (t+1)^2 + 1\} = \{x - (t+1)\}^2$$

これらは常に $0$ 以上である。よって、求める面積 $S$ は、

$$\begin{aligned} S &= \int_{t}^{t+\frac{1}{2}} (x-t)^2 dx + \int_{t+\frac{1}{2}}^{t+1} \{x-(t+1)\}^2 dx \\ &= \left[ \frac{(x-t)^3}{3} \right]_t^{t+\frac{1}{2}} + \left[ \frac{\{x-(t+1)\}^3}{3} \right]_{t+\frac{1}{2}}^{t+1} \\ &= \frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^3 - 0 + 0 - \frac{1}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^3 \\ &= \frac{1}{24} + \frac{1}{24} \\ &= \frac{1}{12} \end{aligned}$$

この結果は定数であり、$t$ によらない。

(3) 各点の座標は、$\text{A}(t, t^2+1)$、$\text{B}(t+1, t^2+2t+2)$、$\text{P}\left(t+\frac{1}{2}, t^2+t+1\right)$ である。それぞれの2点間の距離の2乗を計算する。

$$\begin{aligned} \text{AB}^2 &= (t+1 - t)^2 + \{(t^2+2t+2) - (t^2+1)\}^2 \\ &= 1^2 + (2t+1)^2 \\ &= 4t^2 + 4t + 2 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \text{PA}^2 &= \left(t - \left(t+\frac{1}{2}\right)\right)^2 + \{(t^2+1) - (t^2+t+1)\}^2 \\ &= \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + (-t)^2 \\ &= t^2 + \frac{1}{4} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \text{PB}^2 &= \left(t+1 - \left(t+\frac{1}{2}\right)\right)^2 + \{(t^2+2t+2) - (t^2+t+1)\}^2 \\ &= \left(\frac{1}{2}\right)^2 + (t+1)^2 \\ &= t^2 + 2t + \frac{5}{4} \end{aligned}$$

これらを代入して、目的の式を整理する。

$$\begin{aligned} \text{AB}^2 + 2\text{PA}^2 + \text{PB}^2 &= (4t^2 + 4t + 2) + 2\left(t^2 + \frac{1}{4}\right) + \left(t^2 + 2t + \frac{5}{4}\right) \\ &= 4t^2 + 4t + 2 + 2t^2 + \frac{1}{2} + t^2 + 2t + \frac{5}{4} \\ &= 7t^2 + 6t + \frac{15}{4} \end{aligned}$$

これは $t$ の2次関数であり、次のように平方完成できる。

$$\begin{aligned} 7t^2 + 6t + \frac{15}{4} &= 7\left(t^2 + \frac{6}{7}t\right) + \frac{15}{4} \\ &= 7\left(t + \frac{3}{7}\right)^2 - 7\left(\frac{3}{7}\right)^2 + \frac{15}{4} \\ &= 7\left(t + \frac{3}{7}\right)^2 + \frac{69}{28} \end{aligned}$$

したがって、$\text{AB}^2 + 2\text{PA}^2 + \text{PB}^2$ は $t = -\frac{3}{7}$ のとき最小となる。

解説

放物線の2接線に関する典型的な問題である。(1)での交点の $x$ 座標が接点の $x$ 座標の中点になること、(2)の面積が放物線の形状のみに依存して定数になることは、有名な性質であるため検算に役立つ。(3)は計算量が増えるが、各成分の差を丁寧に計算して2次関数の最大・最小問題に帰着させればよい。