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数学2 面積・接線問題 30 解説

方針・初手

交点の $x$ 座標を文字でおき、解と係数の関係を用いて三角形の面積を立式する。面積の計算には、底辺と高さを用いる方法や、ベクトルを用いた面積公式などが有効である。(2) は得られた $t$ の 3 次関数の増減を微分を用いて調べる。

解法1

(1)

曲線 $y = x^2$ と直線 $y = 2x + t$ の交点 A, B の $x$ 座標を $\alpha, \beta \ (\alpha < \beta)$ とする。これらは 2 次方程式 $x^2 - 2x - t = 0$ の実数解である。

解と係数の関係より、

$$\begin{cases} \alpha + \beta = 2 \\ \alpha \beta = -t \end{cases}$$

が成り立つ。よって、

$$(\beta - \alpha)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = 2^2 - 4(-t) = 4(1+t)$$

$\beta > \alpha$ より、$\beta - \alpha = 2\sqrt{1+t}$ である。

点 C$(0,1)$ から直線 $2x - y + t = 0$ までの距離を $d$ とすると、点と直線の距離の公式より、

$$d = \frac{|2 \cdot 0 - 1 + t|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|t-1|}{\sqrt{5}}$$

$-1 < t < 1$ より $t - 1 < 0$ であるから、$|t-1| = 1-t$ となり、

$$d = \frac{1-t}{\sqrt{5}}$$

また、線分 AB の長さは、直線 $y = 2x + t$ の傾きが $2$ であることから、直角三角形の辺の比を用いて、

$$\text{AB} = \sqrt{1^2 + 2^2} (\beta - \alpha) = \sqrt{5} \cdot 2\sqrt{1+t} = 2\sqrt{5(1+t)}$$

三角形 ABC の面積を $T$ とおくと、

$$T = \frac{1}{2} \cdot \text{AB} \cdot d = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{5(1+t)} \cdot \frac{1-t}{\sqrt{5}} = (1-t)\sqrt{1+t}$$

したがって、求める $S(t)$ は、

$$S(t) = T^2 = \{(1-t)\sqrt{1+t}\}^2 = (1-t)^2(1+t) = t^3 - t^2 - t + 1$$

(2)

(1) より $S(t) = t^3 - t^2 - t + 1$ であるから、これを $t$ について微分すると、

$$S'(t) = 3t^2 - 2t - 1 = (3t+1)(t-1)$$

$S'(t) = 0$ とすると、$t = -\frac{1}{3}, 1$ である。$-1 < t < 1$ における $S(t)$ の増減表は次のようになる。

$t$	$(-1)$	$\cdots$	$-\frac{1}{3}$	$\cdots$	$(1)$
$S'(t)$		$+$	$0$	$-$
$S(t)$		$\nearrow$	極大	$\searrow$

増減表より、$S(t)$ は $t = -\frac{1}{3}$ のとき最大値をとる。このとき、

$$S\left(-\frac{1}{3}\right) = \left(1 - \left(-\frac{1}{3}\right)\right)^2 \left(1 + \left(-\frac{1}{3}\right)\right) = \left(\frac{4}{3}\right)^2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{16}{9} \cdot \frac{2}{3} = \frac{32}{27}$$

よって、$t = -\frac{1}{3}$ のとき最大値 $\frac{32}{27}$ をとる。

解法2

(1) 三角形の面積をベクトルで求める別解

A$(\alpha, 2\alpha+t)$, B$(\beta, 2\beta+t)$, C$(0,1)$ とする。$\alpha, \beta \ (\alpha < \beta)$ は $x^2 - 2x - t = 0$ の解であり、$\beta - \alpha = 2\sqrt{1+t}$ である。

$\overrightarrow{\text{CA}} = (\alpha, 2\alpha+t-1)$, $\overrightarrow{\text{CB}} = (\beta, 2\beta+t-1)$ であるから、三角形 ABC の面積 $T$ は、

$$\begin{aligned} T &= \frac{1}{2} | \alpha(2\beta+t-1) - \beta(2\alpha+t-1) | \\ &= \frac{1}{2} | 2\alpha\beta + \alpha(t-1) - 2\alpha\beta - \beta(t-1) | \\ &= \frac{1}{2} | (t-1)(\alpha - \beta) | \end{aligned}$$

$-1 < t < 1$ より $t - 1 < 0$、$\alpha < \beta$ より $\alpha - \beta < 0$ であるから、$(t-1)(\alpha-\beta) > 0$ である。よって絶対値記号をそのまま外すことができ、

$$T = \frac{1}{2} (1-t)(\beta - \alpha) = \frac{1}{2} (1-t) \cdot 2\sqrt{1+t} = (1-t)\sqrt{1+t}$$

したがって、求める $S(t)$ は、

$$S(t) = T^2 = (1-t)^2(1+t) = t^3 - t^2 - t + 1$$

解説

2次曲線と直線によって切り取られる線分の長さや、それが作る三角形の面積に関する典型問題である。交点の $x$ 座標を直接解の公式で求めると計算が煩雑になりやすいため、解と係数の関係を利用して対称式として処理するのが定石である。面積の導出については、解法1の「底辺と高さ」から求める方法や、解法2の「ベクトルによる面積公式」を用いる方法のほか、直線と $y$ 軸の交点を底辺上の点とみなして2つの三角形の面積の和として計算する方法（等積分割）でも見通しよく計算できる。