数学2 面積・接線 問題 31 解説

方針・初手

• (1) $f(x)$ が極値をとる $x$ 座標 $\alpha, \beta$ を $f'(x)=0$ の解として扱う。解と係数の関係を利用して、極値を通る直線の傾きを $a$ を用いて表す。
• (2) 曲線 $y = f'(x)$ は下に凸な2次関数の放物線であるため、$x$ 軸との交点を求めた後、面積計算を簡略化する $\frac{1}{6}$ 公式を利用する。

解法1

(1)

与えられた関数 $f(x)$ を展開する。

$$f(x) = (x^2 - a^2)(x+1) = x^3 + x^2 - a^2 x - a^2$$

これを $x$ について微分すると次のようになる。

$$f'(x) = 3x^2 + 2x - a^2$$

$f(x)$ は $x = \alpha, \beta$ で極値をとるので、$\alpha, \beta$ は2次方程式 $f'(x) = 0$ すなわち $3x^2 + 2x - a^2 = 0$ の相異なる2つの実数解である。解と係数の関係より、次が成り立つ。

$$\alpha + \beta = -\frac{2}{3}, \quad \alpha\beta = -\frac{a^2}{3}$$

2点 $(\alpha, f(\alpha))$ と $(\beta, f(\beta))$ を結ぶ直線の傾きを $m$ とすると、次のように表される。

$$m = \frac{f(\beta) - f(\alpha)}{\beta - \alpha}$$

分子を展開して整理する。

$$\begin{aligned} f(\beta) - f(\alpha) &= (\beta^3 + \beta^2 - a^2\beta - a^2) - (\alpha^3 + \alpha^2 - a^2\alpha - a^2) \\ &= (\beta^3 - \alpha^3) + (\beta^2 - \alpha^2) - a^2(\beta - \alpha) \\ &= (\beta - \alpha)(\beta^2 + \alpha\beta + \alpha^2) + (\beta - \alpha)(\beta + \alpha) - a^2(\beta - \alpha) \\ &= (\beta - \alpha) \{ (\alpha + \beta)^2 - \alpha\beta + (\alpha + \beta) - a^2 \} \end{aligned}$$

$\alpha < \beta$ より $\alpha \neq \beta$ であるから、両辺を $\beta - \alpha$ で割ると直線の傾き $m$ は次のようになる。

$$\begin{aligned} m &= (\alpha + \beta)^2 - \alpha\beta + (\alpha + \beta) - a^2 \\ &= \left(-\frac{2}{3}\right)^2 - \left(-\frac{a^2}{3}\right) + \left(-\frac{2}{3}\right) - a^2 \\ &= \frac{4}{9} + \frac{a^2}{3} - \frac{2}{3} - a^2 \\ &= -\frac{2}{9} - \frac{2}{3}a^2 \end{aligned}$$

一方、点 $(-1, 0)$ における曲線 $y = f(x)$ の接線の傾きは $f'(-1)$ に等しい。

$$f'(-1) = 3(-1)^2 + 2(-1) - a^2 = 1 - a^2$$

条件よりこれらが等しいので、次の方程式を得る。

$$-\frac{2}{9} - \frac{2}{3}a^2 = 1 - a^2$$

これを $a$ について解く。

$$\begin{aligned} -2 - 6a^2 &= 9 - 9a^2 \\ 3a^2 &= 11 \\ a^2 &= \frac{11}{3} \end{aligned}$$

$a$ は1より大きい定数 ($a > 1$) であるから、$a = \sqrt{\frac{11}{3}} = \frac{\sqrt{33}}{3}$ となる。

(2)

(1) の結果より $a^2 = \frac{11}{3}$ であるから、導関数 $f'(x)$ は次のようになる。

$$f'(x) = 3x^2 + 2x - \frac{11}{3}$$

曲線 $y = f'(x)$ は下に凸な放物線である。この曲線と $x$ 軸の交点の $x$ 座標は、$f'(x) = 0$ の解である。

$$3x^2 + 2x - \frac{11}{3} = 0$$

両辺を3倍して整理する。

$$9x^2 + 6x - 11 = 0$$

解の公式を用いて $x$ を求める。

$$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 9 \cdot (-11)}}{9} = \frac{-3 \pm \sqrt{108}}{9} = \frac{-3 \pm 6\sqrt{3}}{9} = \frac{-1 \pm 2\sqrt{3}}{3}$$

2つの解を $p, q$ ($p < q$) とおくと、$p = \frac{-1 - 2\sqrt{3}}{3}, q = \frac{-1 + 2\sqrt{3}}{3}$ であり、区間 $p \le x \le q$ において $f'(x) \le 0$ である。 求める面積 $S$ は次の定積分で計算できる。

$$\begin{aligned} S &= \int_{p}^{q} \{ 0 - f'(x) \} \, dx \\ &= - \int_{p}^{q} 3(x - p)(x - q) \, dx \end{aligned}$$

定積分の公式 $\int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)(x - \beta) \, dx = -\frac{1}{6}(\beta - \alpha)^3$ を利用すると次のようになる。

$$\begin{aligned} S &= -3 \left\{ -\frac{1}{6} (q - p)^3 \right\} \\ &= \frac{1}{2} (q - p)^3 \end{aligned}$$

ここで $q - p$ を計算する。

$$q - p = \frac{-1 + 2\sqrt{3}}{3} - \frac{-1 - 2\sqrt{3}}{3} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$$

したがって、求める面積 $S$ は次のように求まる。

$$\begin{aligned} S &= \frac{1}{2} \left( \frac{4\sqrt{3}}{3} \right)^3 \\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{64 \cdot 3\sqrt{3}}{27} \\ &= \frac{32\sqrt{3}}{9} \end{aligned}$$

解法2

(1) における極値を通る直線の傾きについての別解

3次関数 $f(x)$ をその導関数 $f'(x)$ で割ったときの商と余りを利用して、極値を通る直線の方程式を直接求めることができる。 $f(x) = x^3 + x^2 - a^2 x - a^2$ を $f'(x) = 3x^2 + 2x - a^2$ で割る。

$$x^3 + x^2 - a^2 x - a^2 = (3x^2 + 2x - a^2) \left( \frac{1}{3}x + \frac{1}{9} \right) - \frac{2}{9}(3a^2 + 1)x - \frac{8}{9}a^2$$

よって、関数 $f(x)$ は次のように表せる。

$$f(x) = f'(x) \left( \frac{1}{3}x + \frac{1}{9} \right) - \frac{2}{9}(3a^2 + 1)x - \frac{8}{9}a^2$$

極値をとる $x = \alpha, \beta$ においては $f'(\alpha) = 0, f'(\beta) = 0$ であるから、これらを代入すると以下の式を得る。

$$f(\alpha) = - \frac{2}{9}(3a^2 + 1)\alpha - \frac{8}{9}a^2$$

$$f(\beta) = - \frac{2}{9}(3a^2 + 1)\beta - \frac{8}{9}a^2$$

これは、2点 $(\alpha, f(\alpha)), (\beta, f(\beta))$ が直線 $y = - \frac{2}{9}(3a^2 + 1)x - \frac{8}{9}a^2$ 上に存在することを示している。 したがって、この2点を結ぶ直線の傾きは $- \frac{2}{9}(3a^2 + 1)$ である。 これ以降は解法1と同様に $1 - a^2$ と等号で結んで $a$ についての方程式を解けばよい。

解説

• (1) では、3次関数の極値を通る直線の傾きを求める計算が中心となる。「解と係数の関係を用いる方法（解法1）」と「$f(x)$ を $f'(x)$ で割る方法（解法2）」の2つの定石がある。解法2は極値を通る直線の方程式そのものが必要な場合に非常に強力だが、本問のように傾きだけが必要な場合は解法1でもスムーズに導出できる。
• (2) は典型的な放物線と $x$ 軸で囲まれた面積の計算である。交点の $x$ 座標が無理数になるため、そのまま定積分を計算すると計算が煩雑になりミスを誘発しやすい。$\frac{1}{6}$ 公式を適切に用いて定積分計算を簡略化することが求められる。

答え

(1)

$$a = \frac{\sqrt{33}}{3}$$

(2)

$$S = \frac{32\sqrt{3}}{9}$$