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数学2 面積・接線問題 32 解説

方針・初手

(1) は $x$ と $y$ の式から $t$ を消去する。$t$ の2次式になっているため、$t$ と $t^2$ をそれぞれ未知数とみなした連立方程式として解き、得られた $t, t^2$ の式から $t$ を消去する手法をとる。
(2) は点 $\text{P}$ と点 $\text{Q}$ の座標から中点 $\text{M}$ の座標を具体的に計算し、$x$ 座標と $y$ 座標の関係式を導く。
(3) は、(2) で示された図形的性質（線分 $\text{PQ}$ の中点が定直線上にあり、直線 $\text{PQ}$ がその定直線と垂直であること）に着目する。これにより、曲線 $C$ が放物線をある直線について対称移動した図形であることが分かるため、これを利用して共有点と面積を求める。

解法1

(1)

与えられた媒介変数表示は以下の通りである。

$$\begin{cases} 5x = 4t - 3t^2 & \cdots ① \\ 5y = 3t + 4t^2 & \cdots ② \end{cases}$$

これを $t$ と $t^2$ の連立一次方程式とみて解く。 $① \times 4 + ② \times 3$ より

$$20x + 15y = 16t - 12t^2 + 9t + 12t^2$$

$$25t = 20x + 15y$$

$$t = \frac{4}{5}x + \frac{3}{5}y \cdots ③$$

$① \times (-3) + ② \times 4$ より

$$-15x + 20y = -12t + 9t^2 + 12t + 16t^2$$

$$25t^2 = -15x + 20y$$

$$t^2 = -\frac{3}{5}x + \frac{4}{5}y \cdots ④$$

③を④に代入して $t$ を消去する。

$$\left( \frac{4}{5}x + \frac{3}{5}y \right)^2 = -\frac{3}{5}x + \frac{4}{5}y$$

$$\frac{16}{25}x^2 + \frac{24}{25}xy + \frac{9}{25}y^2 = -\frac{3}{5}x + \frac{4}{5}y$$

両辺に $25$ を掛けて整理する。

$$16x^2 + 24xy + 9y^2 = -15x + 20y$$

$$16x^2 + 24xy + 9y^2 + 15x - 20y = 0$$

係数を比較して、$[ア] = 24$, $[イ] = 9$, $[ウ] = 15$, $[エ] = -20$ を得る。

(2)

点 $\text{P}\left(\frac{4t-3t^2}{5}, \frac{3t+4t^2}{5}\right)$ と点 $\text{Q}(-t, t^2)$ について、線分 $\text{PQ}$ の中点 $\text{M}$ の座標を $(X, Y)$ とおくと、

$$X = \frac{1}{2} \left( \frac{4t-3t^2}{5} - t \right) = \frac{4t-3t^2-5t}{10} = \frac{-t-3t^2}{10}$$

$$Y = \frac{1}{2} \left( \frac{3t+4t^2}{5} + t^2 \right) = \frac{3t+4t^2+5t^2}{10} = \frac{3t+9t^2}{10}$$

したがって、$\text{M}$ の座標は $\left( \frac{-t-3t^2}{10}, \frac{3t+9t^2}{10} \right)$ と表される。

ここで、$Y$ と $X$ の関係を調べると、

$$Y = \frac{-3(-t-3t^2)}{10} = -3X$$

となるため、点 $\text{M}$ は $t$ の値に関係なく定直線 $y = -3x$ 上にある。よって、$[カ] = -3$ である。

(3)

曲線 $C$ と放物線 $y = x^2$ の共有点を考える。点 $\text{Q}(-t, t^2)$ は $t$ がすべての実数値をとって変化するとき、放物線 $y=x^2$ 全体を描く。 (2)の結果から、点 $\text{P}$ と点 $\text{Q}$ は直線 $y = -3x$ に関して対称な位置関係にある。したがって、曲線 $C$（点 $\text{P}$ の軌跡）と放物線 $y=x^2$ の共有点は、対称の軸である直線 $y = -3x$ 上に存在する。これは点 $\text{P}$ と点 $\text{Q}$ が一致するときであるから、

$$\begin{cases} \frac{4t-3t^2}{5} = -t \\ \frac{3t+4t^2}{5} = t^2 \end{cases}$$

が成り立つ。第1式を解くと、

$$4t - 3t^2 = -5t$$

$$3t^2 - 9t = 0$$

$$3t(t - 3) = 0$$

したがって、$t = 0, 3$ となる。これらは第2式も満たす。 $t=0$ のとき、共有点は $(0, 0)$ すなわち原点である。 $t=3$ のとき、共有点の座標は $x = -3, y = 3^2 = 9$ より $(-3, 9)$ である。よって、原点以外の共有点の座標は $(-3, 9)$ となる。

次に、曲線 $C$ と放物線 $y=x^2$ で囲まれる部分の面積を求める。曲線 $C$ と放物線 $y=x^2$ は直線 $y = -3x$ に関して線対称であるから、囲まれる部分の面積は、放物線 $y=x^2$ と直線 $y=-3x$ によって囲まれる部分の面積の $2$ 倍に等しい。

放物線 $y=x^2$ と直線 $y=-3x$ の交点の $x$ 座標は、先ほど求めた共有点の $x$ 座標であり、$x = -3, 0$ である。求める面積を $S$ とすると、区間 $-3 \leqq x \leqq 0$ において直線が放物線の上側にあるため、

$$S = 2 \int_{-3}^{0} (-3x - x^2) dx$$

$$S = 2 \left[ -\frac{3}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3 \right]_{-3}^{0}$$

定積分の公式 $\int_{\alpha}^{\beta} -(x-\alpha)(x-\beta) dx = \frac{(\beta-\alpha)^3}{6}$ を用いるとより簡潔に計算でき、

$$S = 2 \times \frac{(0 - (-3))^3}{6} = 2 \times \frac{27}{6} = 9$$

となる。

解説

媒介変数表示で表された曲線の性質と、図形の対称性を活用する問題である。 (1) のように、2次以下の多項式で表された $x, y$ の媒介変数表示から変数を消去する際は、$t$ と $t^2$ をそれぞれ独立した変数とみなして連立方程式を解く手法が有効である。 (3) の面積計算では、(2) の誘導が決定的な役割を果たす。「中点が定直線上にある」「2点を結ぶ直線がその定直線と垂直である」という2つの条件が揃うことで、点 $\text{P}$ と点 $\text{Q}$ が直線 $y = -3x$ に関して対称であることが保証される。これに気づけば、曲線 $C$ の複雑な方程式や積分を直接扱うことなく、放物線と直線の間の面積の $2$ 倍として容易に面積を求めることができる。