数学2 面積・接線 問題 36 解説

方針・初手

(1) は定点と通る点から直線の方程式を求め、中点の公式を用いて点の座標を逆算する基本的な問題である。

(2) は「放物線上の点における接線が特定の定点を通る」という条件から、接点の座標（パラメータ）を決定する。

(3) は (1) で求めた点 $\mathrm{Q}$ の座標の式からパラメータ $t$ を消去して軌跡の方程式を求め、2つの放物線で囲まれた部分の面積を定積分で計算する。

解法1

(1) 点 $\mathrm{A}(-2, 2)$ と点 $\mathrm{P}(1, 1)$ を通る直線 $\mathrm{AP}$ の傾きは、

$$\frac{1 - 2}{1 - (-2)} = -\frac{1}{3}$$

である。よって、直線 $\mathrm{AP}$ の方程式は、

$$y - 1 = -\frac{1}{3}(x - 1)$$

$$y = -\frac{1}{3}x + \frac{4}{3}$$

となる。

点 $\mathrm{P}(1, 1)$ は線分 $\mathrm{AQ}$ の中点である。点 $\mathrm{Q}$ の座標を $(X, Y)$ とおくと、中点の座標の公式より、

$$\frac{-2 + X}{2} = 1, \quad \frac{2 + Y}{2} = 1$$

が成り立つ。これを解くと $X = 4, Y = 0$ となり、点 $\mathrm{Q}$ の座標は $(4, 0)$ である。

次に、点 $\mathrm{P}$ の座標が $(t, t^2)$ のとき、点 $\mathrm{Q}$ の座標を $(X, Y)$ とおくと、同様に中点の条件から、

$$\frac{-2 + X}{2} = t, \quad \frac{2 + Y}{2} = t^2$$

が成り立つ。これを $X, Y$ について解くと、

$$X = 2t + 2, \quad Y = 2t^2 - 2$$

となる。よって、点 $\mathrm{Q}$ の座標は $(2t+2, 2t^2-2)$ である。

(2) 関数 $y = x^2$ について $y' = 2x$ であるから、点 $\mathrm{P}(t, t^2)$ における $C_1$ の接線の方程式は、

$$y - t^2 = 2t(x - t)$$

$$y = 2tx - t^2$$

となる。

直線 $\mathrm{AP}$ がこの接線と一致するとき、この直線は定点 $\mathrm{A}(-2, 2)$ を通る。したがって、$x = -2, y = 2$ を代入して、

$$2 = 2t(-2) - t^2$$

$$t^2 + 4t + 2 = 0$$

を得る。これを解くと、

$$t = -2 \pm \sqrt{4 - 2} = -2 \pm \sqrt{2}$$

となる。点 $\mathrm{P}$ の $x$ 座標は $t$ であるから、$x$ 座標の大きい方の点は $t = -2 + \sqrt{2}$ のときである。

このとき、点 $\mathrm{P}$ の $y$ 座標は、

$$(-2 + \sqrt{2})^2 = 4 - 4\sqrt{2} + 2 = 6 - 4\sqrt{2}$$

となり、点 $\mathrm{P}$ の座標は $(-2+\sqrt{2}, 6-4\sqrt{2})$ である。

また、このときの点 $\mathrm{Q}$ の座標は、(1) の結果に $t = -2 + \sqrt{2}$ を代入して、

$$\begin{aligned} x &= 2(-2+\sqrt{2}) + 2 = -2 + 2\sqrt{2} \\ y &= 2(-2+\sqrt{2})^2 - 2 = 2(6 - 4\sqrt{2}) - 2 = 10 - 8\sqrt{2} \end{aligned}$$

となり、点 $\mathrm{Q}$ の座標は $(-2+2\sqrt{2}, 10-8\sqrt{2})$ である。

(3) 点 $\mathrm{Q}(x, y)$ は、パラメータ $t$ を用いて、

$$\begin{cases} x = 2t + 2 \\ y = 2t^2 - 2 \end{cases}$$

と表される。第1式から $t = \frac{x-2}{2}$ を得て、これを第2式に代入することで $t$ を消去する。

$$y = 2\left(\frac{x-2}{2}\right)^2 - 2 = \frac{1}{2}(x^2 - 4x + 4) - 2 = \frac{1}{2}x^2 - 2x$$

したがって、$C_2$ の方程式は $y = \frac{1}{2}x^2 - 2x$ である。

次に、$C_1: y = x^2$ と $C_2: y = \frac{1}{2}x^2 - 2x$ で囲まれる領域の面積を求める。 まず、2つの曲線の交点の $x$ 座標を求める。

$$x^2 = \frac{1}{2}x^2 - 2x$$

$$\frac{1}{2}x^2 + 2x = 0$$

$$x(x + 4) = 0$$

より、$x = -4, 0$ である。

区間 $-4 \le x \le 0$ において、$\frac{1}{2}x^2 + 2x \le 0$ すなわち $x^2 \le \frac{1}{2}x^2 - 2x$ が成り立つため、$C_2$ が $C_1$ の上側にある。 したがって、求める面積 $S$ は、

$$\begin{aligned} S &= \int_{-4}^{0} \left( \left(\frac{1}{2}x^2 - 2x\right) - x^2 \right) dx \\ &= \int_{-4}^{0} \left( -\frac{1}{2}x^2 - 2x \right) dx \\ &= -\frac{1}{2} \int_{-4}^{0} x(x + 4) dx \end{aligned}$$

ここで、定積分の公式 $\int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)(x - \beta) dx = -\frac{1}{6}(\beta - \alpha)^3$ を用いると、

$$S = -\frac{1}{2} \cdot \left( -\frac{1}{6} \right) (0 - (-4))^3 = \frac{1}{12} \cdot 64 = \frac{16}{3}$$

となる。

解説

接線が特定の点を通る条件から接点を逆算する手順は、微分法における典型的な処理である。接点の $x$ 座標を文字でおき、接線の方程式を立ててから通過点の座標を代入することで、計算の混乱を防ぐことができる。

軌跡の問題では、動点の座標をパラメータで表し、そのパラメータを消去することで軌跡の方程式を得る手法が基本である。また、放物線と放物線で囲まれた面積の計算においては、交点を求めた後に $\frac{1}{6}$ 公式を利用することで、計算ミスを減らしつつ素早く答えを導くことができる。

答え

[ア] $-\frac{1}{3}x + \frac{4}{3}$

[イ] $(4, 0)$

[ウ] $(2t+2, 2t^2-2)$

[エ] $(-2+\sqrt{2}, 6-4\sqrt{2})$

[オ] $(-2+2\sqrt{2}, 10-8\sqrt{2})$

(3) $C_2$ の方程式は $y = \frac{1}{2}x^2 - 2x$ 、面積は $\frac{16}{3}$