数学2 面積・接線 問題 37 解説

方針・初手

• 接線 $l$ の傾きが $-4$ であることに着目し、放物線の導関数を利用して接点の $x$ 座標を求めるか、平行移動後の放物線と直線の方程式を連立し、判別式 $D=0$ となる条件から求める。
• 面積を求める際は、2つの放物線の交点の $x$ 座標を求め、積分区間を分けて計算する。接線との間の面積なので、被積分関数が $(x-\alpha)^2$ の形になることを利用して定積分を計算する。

解法1

直線 $l: y = -4x + 18$ の傾きは $-4$ である。 放物線 $C: y = -x^2 + 6$ を平行移動した放物線 $C_1, C_2$ はいずれも $x^2$ の係数が $-1$ であるから、$y = -x^2 + ax + b$ の形に書け、その導関数は $y' = -2x + a$ となる。

$C_1$ は $C$ を $y$ 軸方向に平行移動したものなので、$x$ の係数は変わらず $C_1: y = -x^2 + c$ とおける。 この導関数は $y' = -2x$ である。 接点における接線の傾きが $l$ の傾き $-4$ と等しいから、

$$-2x = -4$$

$$x = 2$$

この接点は直線 $l$ 上にあるので、$x=2$ を $l$ の方程式に代入して、

$$y = -4 \cdot 2 + 18 = 10$$

となり、$C_1$ と $l$ の接点の座標は $(2, 10)$ である。

次に、放物線 $C_2$ は $C$ を $x$ 軸方向に $p$ 平行移動したものとすると、$C_2: y = -(x-p)^2 + 6$ とおける。 展開すると $y = -x^2 + 2px - p^2 + 6$ となり、導関数は $y' = -2x + 2p$ である。 $C_2$ と $l$ の接点の $x$ 座標を $x=t$ とすると、接線の傾きが $-4$ であるから、

$$-2t + 2p = -4 \quad \cdots \text{①}$$

また、接点 $(t, -4t+18)$ は $C_2$ 上にあるから、

$$-4t + 18 = -(t-p)^2 + 6 \quad \cdots \text{②}$$

①より $t-p = 2$ である。これを②に代入して、

$$-4t + 18 = -2^2 + 6$$

$$-4t + 18 = 2$$

$$4t = 16$$

$$t = 4$$

このとき、$x=4$ を $l$ の方程式に代入して $y = -4 \cdot 4 + 18 = 2$ となり、$C_2$ と $l$ の接点の座標は $(4, 2)$ である。

次に面積を求める。 $C_1$ は点 $(2, 10)$ を通るから、$10 = -2^2 + c$ より $c = 14$ となり、$C_1: y = -x^2 + 14$ である。 また、①より $t=4$ のとき $p=2$ であるから、$C_2: y = -(x-2)^2 + 6 = -x^2 + 4x + 2$ である。 $C_1$ と $C_2$ の交点の $x$ 座標を求める。

$$-x^2 + 14 = -x^2 + 4x + 2$$

$$4x = 12$$

$$x = 3$$

直線 $l$ が $C_1, C_2$ の上側にあることに注意して、求める面積 $S$ は以下のように立式できる。

$$S = \int_{2}^{3} \{ (-4x+18) - (-x^2+14) \} dx + \int_{3}^{4} \{ (-4x+18) - (-x^2+4x+2) \} dx$$

被積分関数はそれぞれ接点において重解をもつので、

$$S = \int_{2}^{3} (x^2 - 4x + 4) dx + \int_{3}^{4} (x^2 - 8x + 16) dx$$

$$S = \int_{2}^{3} (x-2)^2 dx + \int_{3}^{4} (x-4)^2 dx$$

$$S = \left[ \frac{1}{3}(x-2)^3 \right]_{2}^{3} + \left[ \frac{1}{3}(x-4)^3 \right]_{3}^{4}$$

$$S = \frac{1}{3} - 0 + 0 - \left( -\frac{1}{3} \right) = \frac{2}{3}$$

解法2

放物線 $C$ を $y$ 軸方向に $q$ 平行移動したものを $C_1$ とすると、その方程式は $y = -x^2 + 6 + q$ である。 直線 $l: y = -4x + 18$ と接するためには、方程式 $-x^2 + 6 + q = -4x + 18$ 、つまり

$$x^2 - 4x + 12 - q = 0$$

が重解をもつ必要がある。 この２次方程式の判別式を $D_1$ とすると、

$$\frac{D_1}{4} = (-2)^2 - (12 - q) = q - 8 = 0$$

したがって $q = 8$ である。 このときの方程式は $x^2 - 4x + 4 = 0$ 、すなわち $(x-2)^2 = 0$ となる。 重解は $x = 2$ であり、これを直線 $l$ の式に代入して $y = 10$ を得る。 よって、$C_1$ と $l$ の接点は $(2, 10)$ である。

次に、放物線 $C$ を $x$ 軸方向に $p$ 平行移動したものを $C_2$ とすると、その方程式は $y = -(x-p)^2 + 6$ である。 直線 $l$ と接するためには、方程式 $-(x-p)^2 + 6 = -4x + 18$ 、すなわち

$$x^2 - 2(p+2)x + p^2 + 12 = 0$$

が重解をもつ必要がある。 この２次方程式の判別式を $D_2$ とすると、

$$\frac{D_2}{4} = (p+2)^2 - (p^2 + 12) = 4p - 8 = 0$$

したがって $p = 2$ である。 このときの方程式は $x^2 - 8x + 16 = 0$ 、すなわち $(x-4)^2 = 0$ となる。 重解は $x = 4$ であり、これを直線 $l$ の式に代入して $y = 2$ を得る。 よって、$C_2$ と $l$ の接点は $(4, 2)$ である。

$p=2, q=8$ より、$C_1: y = -x^2 + 14$ 、$C_2: y = -x^2 + 4x + 2$ である。 これらを連立し、$C_1$ と $C_2$ の交点の $x$ 座標を求めると $x = 3$ となる。 区間 $2 \leqq x \leqq 3$ では $l$ と $C_1$ で囲まれ、区間 $3 \leqq x \leqq 4$ では $l$ と $C_2$ で囲まれる。面積 $S$ の計算は解法1と同様であり、

$$S = \int_{2}^{3} (x-2)^2 dx + \int_{3}^{4} (x-4)^2 dx = \frac{2}{3}$$

となる。

解説

放物線と直線の接点を求める際、一般的には判別式 $D=0$ が用いられるが、本問のように平行移動の条件が含まれる場合は、導関数（微分の考え方）を用いて接線の傾きから接点の座標を特定する手法が計算量を減らす上で有効である。 また、面積計算においては、放物線とその接線で囲まれる部分の定積分において、被積分関数が必ず $a(x-\alpha)^2$ の形に因数分解できることを活用すると、計算ミスを防ぐことができる。合同な２つの放物線が共通接線を持つ場合、放物線同士の交点の $x$ 座標が２つの接点の $x$ 座標の中点になるという性質を知っていると、見通しよく計算を進められる。

答え