数学2 面積・接線 問題 42 解説

方針・初手

• (1)は微分を用いて接線の方程式を立て、連立して交点の座標を求める。
• (2)は定積分を用いて面積を計算する。放物線と接線で囲まれた図形の面積計算の定石通り、被積分関数が完全平方式になることを利用して計算を楽にする。
• (3)は(2)で得られた関係式と、垂直条件（傾きの積が $-1$）から $p, q$ に関する条件を導き、解と係数の関係などを利用して $\alpha, \beta$ を求める。

解法1

(1)

$y = \frac{1}{2}x^2$ を $x$ で微分すると

$$y' = x$$

となる。 点 $\text{P}(2p, 2p^2)$ における接線の方程式は

$$y - 2p^2 = 2p(x - 2p)$$

$$y = 2px - 2p^2$$

となる。 同様に、点 $\text{Q}(2q, 2q^2)$ における接線の方程式は

$$y = 2qx - 2q^2$$

となる。 これら2直線の交点 $\text{A}(\alpha, \beta)$ を求める。

$$2px - 2p^2 = 2qx - 2q^2$$

$$2(p - q)x = 2(p^2 - q^2)$$

$p < q$ より $p - q \neq 0$ であるから、両辺を $2(p - q)$ で割って

$$x = p + q$$

これを $y = 2px - 2p^2$ に代入すると

$$y = 2p(p + q) - 2p^2 = 2p^2 + 2pq - 2p^2 = 2pq$$

したがって、$\alpha, \beta$ は次のように表される。

$$\alpha = p + q, \quad \beta = 2pq$$

(2)

(1)より、2つの接線の交点の $x$ 座標は $\alpha = p + q$ である。 $p < q$ より $2p < p + q < 2q$ であるから、求める面積 $S$ は次のように表される。

$$S = \int_{2p}^{p+q} \left\{ \frac{1}{2}x^2 - (2px - 2p^2) \right\} dx + \int_{p+q}^{2q} \left\{ \frac{1}{2}x^2 - (2qx - 2q^2) \right\} dx$$

それぞれの被積分関数を平方完成すると

$$S = \int_{2p}^{p+q} \frac{1}{2}(x - 2p)^2 dx + \int_{p+q}^{2q} \frac{1}{2}(x - 2q)^2 dx$$

$$S = \left[ \frac{1}{6}(x - 2p)^3 \right]_{2p}^{p+q} + \left[ \frac{1}{6}(x - 2q)^3 \right]_{p+q}^{2q}$$

$$S = \frac{1}{6}(p + q - 2p)^3 - 0 + 0 - \frac{1}{6}(p + q - 2q)^3$$

$$S = \frac{1}{6}(q - p)^3 - \frac{1}{6}(p - q)^3$$

$$S = \frac{1}{6}(q - p)^3 + \frac{1}{6}(q - p)^3$$

$$S = \frac{1}{3}(q - p)^3$$

(3)

$S = 9$ より

$$\frac{1}{3}(q - p)^3 = 9$$

$$(q - p)^3 = 27$$

$q - p$ は実数であるから

$$q - p = 3$$

また、直線 $\text{PA}$ と直線 $\text{QA}$ が垂直に交わる（$\text{PA} \perp \text{QA}$）ので、それぞれの傾きの積は $-1$ である。 点 $\text{P}$, $\text{Q}$ における接線の傾きはそれぞれ $2p$, $2q$ であるから

$$2p \cdot 2q = -1$$

$$4pq = -1$$

$$pq = -\frac{1}{4}$$

(1)の結果から、$\alpha = p + q, \beta = 2pq$ である。 $\beta$ の値は直接求まる。

$$\beta = 2 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) = -\frac{1}{2}$$

$\alpha$ の値を求めるため、$\alpha^2 = (p + q)^2$ を計算する。

$$\alpha^2 = (p + q)^2 = (q - p)^2 + 4pq$$

上の結果を代入して

$$\alpha^2 = 3^2 + 4 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) = 9 - 1 = 8$$

よって

$$\alpha = \pm 2\sqrt{2}$$

以上より、$\alpha, \beta$ の値が求まった。

解説

放物線と2本の接線で囲まれた面積に関する典型問題である。 (1)の交点の座標、(2)の面積ともに、公式や性質として結果を知っている受験生も多い。 特に(2)における積分計算では、展開してから積分するのではなく、被積分関数が接点において重解を持つことを利用して $(x - a)^2$ の形を作り、その積分が $\frac{1}{3}(x - a)^3$ となることを利用して計算量を減らす工夫が重要である。 (3)は対称式の変形 $(p + q)^2 = (q - p)^2 + 4pq$ を用いて連立方程式を解く、これも数学において非常によく用いられる定石の処理である。

答え

(1)

$$\alpha = p + q, \quad \beta = 2pq$$

(2)

$$S = \frac{1}{3}(q - p)^3$$

(3)

$$\alpha = \pm 2\sqrt{2}, \quad \beta = -\frac{1}{2}$$