数学2 面積・接線 問題 43 解説

方針・初手

2つの曲線が特定の点を共有し、さらにその点における接線が一致するという条件から、未定係数を決定する。一般に、2つの関数 $y=f(x)$ と $y=g(x)$ が $x=p$ において共通の接線を持つ（接する）ための条件は、$f(p)=g(p)$ かつ $f'(p)=g'(p)$ が成り立つことである。

係数 $a, b$ が求まった後は、2つの放物線の方程式が確定するため、指定された区間における上下関係を調べて定積分により面積を計算する。

解法1

$f(x)=x^2$、$g(x)=-(x-a)^2+b$ とおく。

$C_1$ と $C_2$ が点 $(2,4)$ を共有し、その点における接線が一致するための条件は、

$$\begin{cases} f(2) = g(2) \\ f'(2) = g'(2) \end{cases}$$

が成り立つことである。

$f'(x)=2x$、$g'(x)=-2(x-a)$ であるから、それぞれの条件式は以下のようになる。

$f(2)=g(2)$ より、

$$4 = -(2-a)^2+b$$

$f'(2)=g'(2)$ より、

$$4 = -2(2-a)$$

第2式より $2-a = -2$ となり、$a=4$ を得る。

これを第1式に代入して、

$$4 = -(2-4)^2+b$$

$$4 = -4+b$$

よって $b=8$ となる。

ゆえに、$C_2$ の方程式は $y = -(x-4)^2+8 = -x^2+8x-8$ である。

次に、$C_1$、$C_2$ および $y$ 軸（直線 $x=0$）で囲まれる部分の面積 $S$ を求める。

面積を計算する区間 $0 \leqq x \leqq 2$ における $C_1$ と $C_2$ の上下関係を調べるため、2つの関数の差を計算する。

$$f(x) - g(x) = x^2 - (-x^2+8x-8) = 2x^2-8x+8 = 2(x-2)^2$$

区間 $0 \leqq x \leqq 2$ において $2(x-2)^2 \geqq 0$ であるから、$f(x) \geqq g(x)$ となり、$C_1$ が $C_2$ の上側（または境界上）にあることがわかる。

したがって、求める面積 $S$ は、

$$S = \int_{0}^{2} \{f(x) - g(x)\} dx = \int_{0}^{2} 2(x-2)^2 dx$$

これを計算して、

$$S = \left[ \frac{2}{3}(x-2)^3 \right]_{0}^{2} = 0 - \frac{2}{3}(-2)^3 = \frac{16}{3}$$

解説

2曲線が接するための条件として、「接点での $y$ 座標が等しい」ことと「接点での微分係数（接線の傾き）が等しい」ことを連立させる、微分の基本事項を問う問題である。

面積計算の際、被積分関数が $2(x-2)^2$ と完全平方式になるのは、2つの放物線が $x=2$ で接しているためである。2次関数の差が $k(x-\alpha)^2$ の形になることを知っていれば、展開してから項ごとに積分するよりも $\int (x-\alpha)^2 dx = \frac{1}{3}(x-\alpha)^3 + C$ を用いることで、計算量を減らしミスを防ぐことができる。

答え

$a = 4$

$b = 8$

面積は $\frac{16}{3}$