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数学2 面積・接線問題 52 解説

方針・初手

(1) は、解 $\alpha, \beta$ が方程式 $x^2 - x - 1 = 0$ を満たすことを利用し、次数を上げる要領で漸化式を導く典型的な手法を用いる。 (2) と (3) は、解と係数の関係および(1)で示した漸化式を用いて、$c_1, c_2, c_3, c_4$ の具体的な値を順番に計算する。関数を決定した後は、基本的な微積分の計算に帰着する。

解法1

(1)

$\alpha, \beta$ は2次方程式 $x^2 - x - 1 = 0$ の解であるから、

$$\begin{aligned} \alpha^2 - \alpha - 1 &= 0 \\ \beta^2 - \beta - 1 &= 0 \end{aligned}$$

が成り立つ。これらを変形すると、

$$\begin{aligned} \alpha^2 &= \alpha + 1 \\ \beta^2 &= \beta + 1 \end{aligned}$$

となる。$n$ は2以上の自然数であるから、$n-1 \geqq 1$ である。上の2つの式の両辺にそれぞれ $\alpha^{n-1}, \beta^{n-1}$ をかけると、

$$\begin{aligned} \alpha^{n+1} &= \alpha^n + \alpha^{n-1} \\ \beta^{n+1} &= \beta^n + \beta^{n-1} \end{aligned}$$

辺々を加えると、

$$\alpha^{n+1} + \beta^{n+1} = (\alpha^n + \beta^n) + (\alpha^{n-1} + \beta^{n-1})$$

$c_n = \alpha^n + \beta^n$ より、これは

$$c_{n+1} = c_n + c_{n-1}$$

であることを示している。（証明終）

(2)

解と係数の関係より、

$$\begin{aligned} \alpha + \beta &= 1 \\ \alpha \beta &= -1 \end{aligned}$$

である。よって、$c_1$ と $c_2$ の値は以下のようになる。

$$\begin{aligned} c_1 &= \alpha + \beta = 1 \\ c_2 &= \alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = 1^2 - 2(-1) = 3 \end{aligned}$$

(1)で示した漸化式 $c_{n+1} = c_n + c_{n-1}$ に $n=2, 3$ を代入して、$c_3, c_4$ を求める。

$$\begin{aligned} c_3 &= c_2 + c_1 = 3 + 1 = 4 \\ c_4 &= c_3 + c_2 = 4 + 3 = 7 \end{aligned}$$

したがって、与えられた曲線の方程式は、

$$y = x^3 - 4x^2 - 3x + 7$$

となる。この関数を $f(x)$ とおき、微分する。

$$f'(x) = 3x^2 - 8x - 3 = (3x + 1)(x - 3)$$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = -\frac{1}{3}, 3$ のときである。増減表は以下のようになる。

$x$	$\cdots$	$-\frac{1}{3}$	$\cdots$	$3$	$\cdots$
$f'(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$\nearrow$	極大	$\searrow$	極小	$\nearrow$

極大値と極小値を計算する。

$$\begin{aligned} f\left(-\frac{1}{3}\right) &= \left(-\frac{1}{3}\right)^3 - 4\left(-\frac{1}{3}\right)^2 - 3\left(-\frac{1}{3}\right) + 7 \\ &= -\frac{1}{27} - \frac{12}{27} + \frac{27}{27} + \frac{189}{27} \\ &= \frac{203}{27} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} f(3) &= 3^3 - 4 \cdot 3^2 - 3 \cdot 3 + 7 \\ &= 27 - 36 - 9 + 7 \\ &= -11 \end{aligned}$$

よって、$x = -\frac{1}{3}$ で極大値 $\frac{203}{27}$、$x = 3$ で極小値 $-11$ をとる。

(3)

(2)で求めた $c_1, c_2, c_3$ の値を曲線の方程式に代入すると、

$$y = x^2 - 4x + 3$$

となる。この曲線と $x$ 軸の交点の $x$ 座標は、$x^2 - 4x + 3 = 0$ を解いて、

$$(x - 1)(x - 3) = 0$$

より、$x = 1, 3$ である。区間 $1 \leqq x \leqq 3$ において $x^2 - 4x + 3 \leqq 0$ であるから、求める面積を $S$ とすると、

$$\begin{aligned} S &= \int_1^3 -(x^2 - 4x + 3) dx \\ &= -\int_1^3 (x - 1)(x - 3) dx \\ &= \frac{1}{6}(3 - 1)^3 \\ &= \frac{8}{6} \\ &= \frac{4}{3} \end{aligned}$$

となる。

解説

解の累乗和 $c_n = \alpha^n + \beta^n$ についての隣接3項間漸化式を扱う、大学入試における頻出テーマである。2次方程式 $x^2 + px + q = 0$ の解 $\alpha, \beta$ に対して、$c_{n+2} + p c_{n+1} + q c_n = 0$ が成り立つという強力な性質を利用している。(1)で漸化式を自ら導出させ、(2)以降でそれを活用して係数を決定するという丁寧な誘導がついた標準的な問題である。後半の微積分は、基本公式を用いて素早く正確に処理したい。