トップ› 基礎問題› 数学2› 積分法› 面積・接線› 問題 59

数学2 面積・接線問題 59 解説

方針・初手

点 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ の座標を設定し、線分 $\mathrm{PQ}$ 上の点を媒介変数 $t$ を用いて表す。(1) では $x$ を固定して $y$ の最大値を求めるため、変数を減らして1変数の2次関数の最大値問題に帰着させる。領域全体を考える際は、座標軸および直線 $y=x$ に関する対称性を利用すると見通しが良い。

解法1

(1) 直線 $L: y=x$ 上の点 $\mathrm{P}$ と直線 $M: y=-x$ 上の点 $\mathrm{Q}$ を、実数 $p, q$ を用いて $\mathrm{P}(p, p), \mathrm{Q}(q, -q)$ とおく。条件 $\mathrm{OP}+\mathrm{OQ}=\sqrt{2}$ より、$\sqrt{2}|p| + \sqrt{2}|q| = \sqrt{2}$、すなわち $|p| + |q| = 1$ である。線分 $\mathrm{PQ}$ 上の点 $(x, y)$ は、実数 $t \ (0 \leqq t \leqq 1)$ を用いて

$$\begin{cases} x = (1-t)p + tq \\ y = (1-t)p - tq \end{cases}$$

と表される。 $x=a \ (-1 \leqq a \leqq 1)$ と固定したとき、$y$ 座標が最大となる場合を考える。 $y = a - 2tq = -a + 2(1-t)p$ であるから、$t \geqq 0, 1-t \geqq 0$ より $y$ が最大となるのは $p \geqq 0$ かつ $q \leqq 0$ のときと考えてよい。このとき、$|p| + |q| = 1$ より $p - q = 1$、すなわち $q = p-1$ となる。 $a = (1-t)p + t(p-1) = p - t$ より $t = p - a$ である。 $0 \leqq t \leqq 1$ より $a \leqq p \leqq a+1$ となり、$0 \leqq p \leqq 1$ ($p \geqq 0, q \leqq 0$より) とあわせて $\max(0, a) \leqq p \leqq \min(1, a+1)$ が $p$ のとりうる範囲である。$-1 \leqq a \leqq 1$ において、この共通範囲は常に存在する。このとき $y$ を $p$ で表すと、

$$\begin{aligned} y &= (1-t)p - tq \\ &= \{1-(p-a)\}p - (p-a)(p-1) \\ &= -2p^2 + 2(a+1)p - a \\ &= -2 \left( p - \frac{a+1}{2} \right)^2 + \frac{a^2+1}{2} \end{aligned}$$

$p$ の変域について、$a \geqq 0$ のときは $a \leqq p \leqq 1$ であり $a \leqq \frac{a+1}{2} \leqq 1$ を満たす。 $a < 0$ のときは $0 \leqq p \leqq a+1$ であり $0 \leqq \frac{a+1}{2} \leqq a+1$ を満たす。したがって、いずれの場合も $p = \frac{a+1}{2}$ は変域内に含まれ、このとき $y$ は最大値 $\frac{a^2+1}{2}$ をとる。

(2) 領域 $S$ は $(x, y)$ の集合である。(1) において、点 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ に対し $\mathrm{P}', \mathrm{Q}'$ をうまく設定することで $S$ の対称性を示す。点 $(x, y)$ が $S$ に属するとき、$x = (1-t)p + tq, y = (1-t)p - tq$ である。点 $\mathrm{P}'(-q, -q), \mathrm{Q}'(-p, p)$ を考えると、$|-q|+|-p|=1$ より条件を満たす。この $\mathrm{P}', \mathrm{Q}'$ を結ぶ線分を $1-t : t$ に内分する点は

$$\begin{cases} x' = (1-t)(-q) + t(-p) = - \{tp + (1-t)q\} \\ y' = (1-t)(-q) - t(-p) = tp - (1-t)q \end{cases}$$

ここで $t' = 1-t \ (0 \leqq t' \leqq 1)$ とおけば、$x' = -x, y' = y$ となるため、$(-x, y) \in S$ である。同様に $\mathrm{P}''(q, q), \mathrm{Q}''(p, -p)$ を考えると、$(x, -y) \in S$ が示される。したがって、領域 $S$ は $y$ 軸および $x$ 軸に関して対称である。

また、直線 $L, M$ は直線 $y=x$ に関して対称であり、条件 $\mathrm{OP}+\mathrm{OQ}=\sqrt{2}$ も $\mathrm{P}$ と $\mathrm{Q}$ の役割を入れ替えても変わらないため、領域 $S$ は直線 $y=x$ に関しても対称である。以上より、第1象限 ($x \geqq 0, y \geqq 0$) における $S$ の形状を求めればよい。

(1) の結果より、第1象限の $y \geqq x$ となる部分では、$0 \leqq x \leqq 1$ のもとで $x \leqq y \leqq \frac{x^2+1}{2}$ である。直線 $y=x$ に関する対称性より、$y \leqq x$ となる部分では、$0 \leqq y \leqq 1$ のもとで $y \leqq x \leqq \frac{y^2+1}{2}$ である。これらを統合し、さらに座標軸に関する対称性を考慮して全体を絶対値で表すと、領域 $S$ を表す不等式は以下のようになる。

$$|x| \leqq 1, \quad |y| \leqq 1, \quad |y| \leqq \frac{x^2+1}{2}, \quad |x| \leqq \frac{y^2+1}{2}$$

(3) 対称性より、$S$ の面積は第1象限の面積の4倍である。さらに第1象限内の領域は直線 $y=x$ に関して対称であるため、$0 \leqq y \leqq x$ の部分の面積を求めて2倍すればよい。この部分は不等式 $y \leqq x \leqq \frac{y^2+1}{2} \ (0 \leqq y \leqq 1)$ で表される。したがって、求める面積を $A$ とすると、

$$\begin{aligned} A &= 4 \times 2 \int_0^1 \left( \frac{y^2+1}{2} - y \right) dy \\ &= 8 \left[ \frac{y^3}{6} - \frac{y^2}{2} + \frac{y}{2} \right]_0^1 \\ &= 8 \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \right) \\ &= \frac{4}{3} \end{aligned}$$

解説

軌跡・領域の標準的な問題である。パラメータ $p, q, t$ をすべて残したまま存在条件（逆像法）で処理しようとすると、計算が煩雑になりやすい。 (1) のように、特定の象限や大小関係にアタリをつけて文字を減らし、1変数の2次関数に帰着させるのが実戦的である。また、図形の対称性に気づくことができると、(2) の領域の記述や (3) の面積計算が大幅に簡略化される。特に $y=x$ に関する対称性を用いると、(3) の積分計算で無理関数の積分を避け、放物線と直線の間の面積（多項式の積分）に持ち込むことができる点がポイントである。