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数学2 面積・接線問題 61 解説

方針・初手

(1) は、直線が円および放物線それぞれに接する条件を立式する。円と直線が接する条件は「円の中心と直線の距離 $d$ が円の半径 $r$ と等しいこと（$d=r$）」を用いると計算が比較的楽である。放物線と直線が接する条件は、「両者の式から $y$ を消去した $x$ の2次方程式が重解をもつこと」を利用し、判別式 $D=0$ を用いる。これらの条件から $k, m$ の連立方程式を作り、条件 $k>0$ に注意して解く。

(2) は、(1) で求めた直線 $\ell$ と放物線 $C_2$ の接点の $x$ 座標を求めることから始める。接点の $x$ 座標と $y$ 軸（$x=0$）の間で、直線と放物線の上下関係を調べ、定積分により面積を計算する。

解法1

(1)

直線 $\ell$ の方程式は $kx - y + m = 0$ である。円 $C_1: x^2 + (y-1)^2 = 1$ の中心は $(0, 1)$、半径は $1$ である。

直線 $\ell$ と円 $C_1$ が接するので、円の中心と直線 $\ell$ との距離が半径の $1$ に等しい。点と直線の距離の公式より、

$$\frac{|k \cdot 0 - 1 + m|}{\sqrt{k^2 + (-1)^2}} = 1$$

$$|m - 1| = \sqrt{k^2 + 1}$$

両辺はともに正または $0$ であるから、両辺を2乗して、

$$(m - 1)^2 = k^2 + 1 \cdots \text{①}$$

次に、直線 $\ell: y = kx + m$ と放物線 $C_2: y = -\frac{1}{2}x^2$ が接する条件を求める。これらを連立して $y$ を消去すると、

$$-\frac{1}{2}x^2 = kx + m$$

整理して、

$$x^2 + 2kx + 2m = 0$$

この $x$ についての2次方程式が重解をもつので、判別式を $D$ とすると、$D = 0$ である。

$$\frac{D}{4} = k^2 - 2m = 0$$

$$k^2 = 2m \cdots \text{②}$$

②を①に代入して $k$ を消去すると、

$$(m - 1)^2 = 2m + 1$$

$$m^2 - 2m + 1 = 2m + 1$$

$$m^2 - 4m = 0$$

$$m(m - 4) = 0$$

よって、$m = 0$ または $m = 4$ である。

$m = 0$ のとき、②より $k^2 = 0$ となり $k = 0$ を得るが、これは問題の条件 $k > 0$ に反するため不適である。

$m = 4$ のとき、②より $k^2 = 8$ となる。$k > 0$ であるから、$k = 2\sqrt{2}$ を得る。

したがって、求める値は $k = 2\sqrt{2}, m = 4$ である。

(2)

(1) の結果より、直線 $\ell$ の方程式は $y = 2\sqrt{2}x + 4$ である。

直線 $\ell$ と放物線 $C_2: y = -\frac{1}{2}x^2$ の接点の $x$ 座標は、これらを連立した方程式

$$-\frac{1}{2}x^2 = 2\sqrt{2}x + 4$$

$$x^2 + 4\sqrt{2}x + 8 = 0$$

$$(x + 2\sqrt{2})^2 = 0$$

を解いて、$x = -2\sqrt{2}$ である。

区間 $-2\sqrt{2} \leqq x \leqq 0$ において、直線 $\ell$ と放物線 $C_2$ および $y$ 軸とで囲まれた図形を考える。この区間において、常に直線 $\ell$ が放物線 $C_2$ の上側（または接する）にある。

したがって、求める面積を $S$ とすると、$S$ は以下の定積分で計算できる。

$$\begin{aligned} S &= \int_{-2\sqrt{2}}^{0} \left\{ (2\sqrt{2}x + 4) - \left(-\frac{1}{2}x^2\right) \right\} dx \\ &= \frac{1}{2} \int_{-2\sqrt{2}}^{0} (x^2 + 4\sqrt{2}x + 8) dx \\ &= \frac{1}{2} \int_{-2\sqrt{2}}^{0} (x + 2\sqrt{2})^2 dx \\ &= \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{3}(x + 2\sqrt{2})^3 \right]_{-2\sqrt{2}}^{0} \\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} (2\sqrt{2})^3 \\ &= \frac{1}{6} \cdot 16\sqrt{2} \\ &= \frac{8\sqrt{2}}{3} \end{aligned}$$

解説

2つの曲線（直線を含む）の両方に接する共通接線を求める基本的な問題である。 (1) では、放物線と直線の接する条件は判別式 $D=0$ で容易に処理できる。円と直線の接する条件も判別式で処理することは可能だが、計算が煩雑になりやすい。円と直線の関係については、「中心と直線の距離 $=$ 半径」を用いるのが定石であり、計算ミスを減らすことができる。 (2) は、(1) が正しく解けていれば標準的な面積計算である。被積分関数が $(x-\alpha)^2$ の形になることを利用すると、積分計算をより速く正確に行うことができる。