数学2 面積・接線 問題 62 解説

方針・初手

放物線の接線の方程式を求めるために、接点の座標を文字でおいて接線の方程式を立式し、それが与えられた点を通るという条件を利用する。法線の方程式は、垂直な直線の傾きの条件から求める。面積の計算では、交点の $x$ 座標から直線の方程式を決定し、グラフの概形から積分区間を正しく把握して定積分を計算する。

解法1

(1)

放物線 $C: y = \frac{1}{4}x^2$ を微分すると $y' = \frac{1}{2}x$ となる。

接点 $\mathrm{Q}$ の $x$ 座標を $t$ とおくと、$\mathrm{Q}\left(t, \frac{1}{4}t^2\right)$ と表せる。

接線 $l$ の方程式は、

$$y - \frac{1}{4}t^2 = \frac{1}{2}t(x - t)$$

$$y = \frac{1}{2}tx - \frac{1}{4}t^2$$

これが点 $\mathrm{P}(0, -4)$ を通るので、

$$-4 = - \frac{1}{4}t^2$$

$$t^2 = 16$$

$$t = \pm 4$$

直線 $l$ は傾きが正であるから、傾き $\frac{1}{2}t > 0$ より $t > 0$ である。よって $t = 4$ となる。

これを代入して、接線 $l$ の方程式は

$$y = 2x - 4$$

接点 $\mathrm{Q}$ の座標は $(4, 4)$ である。

(2)

直線 $m$ は接線 $l$ に垂直である。$l$ の傾きが $2$ であるから、直線 $m$ の傾きを $a$ とすると、垂直条件より

$$2a = -1$$

$$a = -\frac{1}{2}$$

直線 $m$ は点 $\mathrm{Q}(4, 4)$ を通るから、その方程式は

$$y - 4 = -\frac{1}{2}(x - 4)$$

$$y = -\frac{1}{2}x + 6$$

(3)

放物線 $C$ と直線 $m$ の交点の $x$ 座標は、次の方程式の解である。

$$\frac{1}{4}x^2 = -\frac{1}{2}x + 6$$

両辺を $4$ 倍して整理すると、

$$x^2 + 2x - 24 = 0$$

$$(x + 6)(x - 4) = 0$$

$$x = -6, 4$$

点 $\mathrm{Q}$ 以外の交点の $x$ 座標は $-6$ である。

直線 $n$ はこの交点を通り $y$ 軸に平行な直線であるから、その方程式は

$$x = -6$$

放物線 $C$ の頂点は原点 $(0,0)$ であり、$x$ 軸とは原点のみで接する。したがって、放物線 $C$ と $x$ 軸および直線 $n$ で囲まれた部分は、$-6 \leqq x \leqq 0$ の範囲となる。

求める面積 $S$ は、

$$S = \int_{-6}^{0} \frac{1}{4}x^2 \,dx$$

$$S = \left[ \frac{1}{12}x^3 \right]_{-6}^{0}$$

$$S = 0 - \frac{1}{12}(-6)^3$$

$$S = -\frac{1}{12} \cdot (-216) = 18$$

解説

放物線の接線の方程式は、接点を文字でおいて立式し、通過点の座標を代入して接点を特定するのが定石である。傾きの条件が与えられているため、求まった複数の接点の候補から適切なものを選択する必要がある。

法線の方程式は、垂直な2直線の傾きの積が $-1$ になる性質を利用する。

面積を求める際は、グラフの概形を把握することが重要である。本問では放物線 $C$ が原点で $x$ 軸と接しているため、直線 $x = -6$ と $x$ 軸および放物線で囲まれた領域の $x$ 座標の範囲が $-6 \leqq x \leqq 0$ と定まる。

答え

(1) 接線 $l$ の方程式: $y = 2x - 4$, 点 $\mathrm{Q}$ の座標: $(4, 4)$

(2) $y = -\frac{1}{2}x + 6$

(3) $S = 18$