数学2 面積・接線 問題 63 解説

方針・初手

(1)は導関数を用いて増減を調べ、グラフの概形を描く。 (2)は2つの曲線が共通の接点と接線をもつための条件を立式する。2曲線 $y=f(x)$ と $y=g(x)$ が $x=a$ で共通の接線をもつ条件は、$f(a)=g(a)$ かつ $f'(a)=g'(a)$ である。 (3)は(2)で求めた関数 $f(x)$ に対して、絶対値を含む定積分を計算する。積分区間における $f(x)$ の符号変化を調べ、区間を分割して計算する。

解法1

(1)

$g(x) = x^3 - x$ を微分すると、

$$g'(x) = 3x^2 - 1$$

$g'(x) = 0$ とすると、$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ である。 $g(x)$ の増減表は以下のようになる。

$$\begin{array}{c|ccccc} x & \cdots & -\frac{1}{\sqrt{3}} & \cdots & \frac{1}{\sqrt{3}} & \cdots \\ \hline g'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline g(x) & \nearrow & \frac{2\sqrt{3}}{9} & \searrow & -\frac{2\sqrt{3}}{9} & \nearrow \end{array}$$

また、$g(x) = x(x-1)(x+1)$ より、$x$ 軸との交点は $x = -1, 0, 1$ である。 したがって、グラフは原点対称であり、$x$ 軸と $(-1, 0), (0, 0), (1, 0)$ で交わり、$x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ で極大値 $\frac{2\sqrt{3}}{9}$、$x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ で極小値 $-\frac{2\sqrt{3}}{9}$ をとる3次曲線の概形となる。

(2)

$f(x) = -x^2 + mx - 3$、$g(x) = x^3 - x$ の導関数は、

$$f'(x) = -2x + m$$

$$g'(x) = 3x^2 - 1$$

2曲線が点 $\text{A}(a, f(a))$ で共通の接線をもつための条件は、$f(a) = g(a)$ かつ $f'(a) = g'(a)$ であるから、

$$\begin{cases} -a^2 + ma - 3 = a^3 - a & \cdots \text{①} \\ -2a + m = 3a^2 - 1 & \cdots \text{②} \end{cases}$$

②より、$m = 3a^2 + 2a - 1$ となる。これを①に代入して、

$$\begin{aligned} -a^2 + (3a^2 + 2a - 1)a - 3 &= a^3 - a \\ -a^2 + 3a^3 + 2a^2 - a - 3 &= a^3 - a \\ 2a^3 + a^2 - 3 &= 0 \end{aligned}$$

左辺を因数分解すると、

$$(a - 1)(2a^2 + 3a + 3) = 0$$

ここで、$2a^2 + 3a + 3 = 2\left(a + \frac{3}{4}\right)^2 + \frac{15}{8} > 0$ であるため、実数解は $a = 1$ のみである。 $a = 1$ のとき、②より $m = 3\cdot 1^2 + 2\cdot 1 - 1 = 4$ である。 また、接点 A の座標は $(1, g(1))$ つまり $(1, 0)$ であり、接線の傾きは $g'(1) = 2$ である。 したがって、共通接線 $\ell$ の方程式は、

$$y - 0 = 2(x - 1)$$

$$y = 2x - 2$$

(3)

(2)より $m = 4$ であるから、

$$f(x) = -x^2 + 4x - 3 = -(x - 1)(x - 3)$$

積分区間 $0 \leqq x \leqq 3$ において、$f(x)$ の符号は以下のようになる。 $0 \leqq x \leqq 1$ のとき、$f(x) \leqq 0$ $1 \leqq x \leqq 3$ のとき、$f(x) \geqq 0$

したがって、求める定積分は次のように計算できる。

$$\begin{aligned} \int_0^3 |f(x)| dx &= \int_0^1 \{-f(x)\} dx + \int_1^3 f(x) dx \\ &= \int_0^1 (x^2 - 4x + 3) dx + \int_1^3 (-x^2 + 4x - 3) dx \end{aligned}$$

それぞれの積分を計算すると、

$$\begin{aligned} \int_0^1 (x^2 - 4x + 3) dx &= \left[ \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x \right]_0^1 \\ &= \frac{1}{3} - 2 + 3 \\ &= \frac{4}{3} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \int_1^3 (-x^2 + 4x - 3) dx &= \left[ -\frac{1}{3}x^3 + 2x^2 - 3x \right]_1^3 \\ &= \left(-\frac{27}{3} + 18 - 9\right) - \left(-\frac{1}{3} + 2 - 3\right) \\ &= 0 - \left(-\frac{4}{3}\right) \\ &= \frac{4}{3} \end{aligned}$$

よって、

$$\int_0^3 |f(x)| dx = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$$

解説

2つの曲線が共通の接線をもつ条件を正しく立式できるかが鍵となる。接点を共有する場合は $f(a)=g(a)$ かつ $f'(a)=g'(a)$ と処理する。これが「2曲線が接する」ための基本条件である。後半の積分では、絶対値記号を外すために被積分関数の符号変化を丁寧に調べ、積分区間を分ける必要がある。特に $\int_1^3 (-x^2 + 4x - 3) dx$ の部分は、$\frac{1}{6}$ 公式を用いて $\frac{1}{6}(3-1)^3 = \frac{4}{3}$ と計算すると見通しが良くなる。

答え

(1) $x$ 軸と $(-1, 0), (0, 0), (1, 0)$ で交わり、$x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ で極大値 $\frac{2\sqrt{3}}{9}$、$x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ で極小値 $-\frac{2\sqrt{3}}{9}$ をとる3次曲線の概形。

(2) $a = 1, m = 4$, 接線 $\ell$ の方程式は $y = 2x - 2$

(3) $\frac{8}{3}$