数学2 面積・接線 問題 69 解説

方針・初手

• 放物線と直線の交点の $x$ 座標を文字で置き、解と係数の関係からそれぞれの大小関係を把握する。
• 面積を積分で表す際、直線 $y=mx$ の傾き $m$ の正負によって図形の上下関係が変わるため、場合分けを行う。
• 複雑な図形の面積を直接計算するのではなく、定積分の性質を用いて「放物線と $x$ 軸で囲まれた面積」と「放物線と直線で囲まれた面積」の関係式に帰着させる。

解法1

$f(x) = -x^2+2x+1$ とおく。 条件より、$a, b$ $(a < b)$ は方程式 $f(x) = 0$ の解であるから、解と係数の関係より

$$a+b = 2, \quad ab = -1$$

また、$\alpha, \beta$ $(\alpha < \beta)$ は方程式 $f(x) = mx$、すなわち $-x^2+(2-m)x+1 = 0$ の解であるから、解と係数の関係より

$$\alpha+\beta = 2-m, \quad \alpha\beta = -1$$

$ab = -1$ かつ $a < b$ より $a < 0 < b$ であり、同様に $\alpha\beta = -1$ かつ $\alpha < \beta$ より $\alpha < 0 < \beta$ である。

ここで、関数 $g(x) = f(x) - mx = -x^2+(2-m)x+1$ を考える。 $g(x)$ は上に凸の放物線であり、$g(x) > 0 \iff \alpha < x < \beta$ である。

(i) $m > 0$ のとき $a < 0$ より $g(a) = f(a) - ma = -ma > 0$ となるため、$\alpha < a < \beta$ である。 $b > 0$ より $g(b) = f(b) - mb = -mb < 0$ となるため、$b < \alpha$ または $\beta < b$ である。 $a < 0 < b, \alpha < 0 < \beta$ を加味すると、交点の $x$ 座標の大小関係は以下のようになる。

$$\alpha < a < 0 < \beta < b$$

線分 $\text{OP}, \text{OA}$ と $C$ で囲まれた図形の面積 $S_1$ について、$x \le 0$ における上下関係を考える。 $\alpha \le x \le a$ では $y=mx$ と $y=f(x)$ の間、$a \le x \le 0$ では $y=mx$ と $y=0$ の間にある。

$$\begin{aligned} S_1 &= \int_\alpha^a \{ f(x) - mx \} \,dx + \int_a^0 (0 - mx) \,dx \\ &= \int_\alpha^a f(x) \,dx - \int_\alpha^a mx \,dx - \int_a^0 mx \,dx \\ &= \left( \int_\alpha^0 f(x) \,dx - \int_a^0 f(x) \,dx \right) - \int_\alpha^0 mx \,dx \\ &= \int_\alpha^0 \{ f(x) - mx \} \,dx - \int_a^0 f(x) \,dx \end{aligned}$$

線分 $\text{OQ}, \text{OB}$ と $C$ で囲まれた図形の面積 $S_2$ について、$x \ge 0$ における上下関係を考える。 $0 \le x \le \beta$ では $y=0$ と $y=mx$ の間、$\beta \le x \le b$ では $y=0$ と $y=f(x)$ の間にある。

$$\begin{aligned} S_2 &= \int_0^\beta (mx - 0) \,dx + \int_\beta^b f(x) \,dx \\ &= \int_0^\beta mx \,dx + \int_0^b f(x) \,dx - \int_0^\beta f(x) \,dx \\ &= \int_0^b f(x) \,dx - \int_0^\beta \{ f(x) - mx \} \,dx \end{aligned}$$

$S_1 = S_2$ より、

$$\int_\alpha^0 \{ f(x) - mx \} \,dx - \int_a^0 f(x) \,dx = \int_0^b f(x) \,dx - \int_0^\beta \{ f(x) - mx \} \,dx$$

移項して整理すると、

$$\int_a^0 f(x) \,dx + \int_0^b f(x) \,dx = \int_\alpha^0 \{ f(x) - mx \} \,dx + \int_0^\beta \{ f(x) - mx \} \,dx$$

$$\int_a^b f(x) \,dx = \int_\alpha^\beta \{ f(x) - mx \} \,dx$$

(ii) $m < 0$ のとき $a < 0$ より $g(a) = -ma < 0$ となるため、$a < \alpha$ または $\beta < a$ である。 $b > 0$ より $g(b) = -mb > 0$ となるため、$\alpha < b < \beta$ である。 同様に符号の条件を加味すると、交点の $x$ 座標の大小関係は以下のようになる。

$$a < \alpha < 0 < b < \beta$$

$x \le 0$ の領域における面積 $S_1$ は、

$$\begin{aligned} S_1 &= \int_a^\alpha f(x) \,dx + \int_\alpha^0 mx \,dx \\ &= \int_a^0 f(x) \,dx - \int_\alpha^0 f(x) \,dx + \int_\alpha^0 mx \,dx \\ &= \int_a^0 f(x) \,dx - \int_\alpha^0 \{ f(x) - mx \} \,dx \end{aligned}$$

$x \ge 0$ の領域における面積 $S_2$ は、

$$\begin{aligned} S_2 &= \int_0^b (0 - mx) \,dx + \int_b^\beta \{ f(x) - mx \} \,dx \\ &= - \int_0^b mx \,dx + \int_0^\beta \{ f(x) - mx \} \,dx - \int_0^b \{ f(x) - mx \} \,dx \\ &= - \int_0^b mx \,dx + \int_0^\beta \{ f(x) - mx \} \,dx - \int_0^b f(x) \,dx + \int_0^b mx \,dx \\ &= \int_0^\beta \{ f(x) - mx \} \,dx - \int_0^b f(x) \,dx \end{aligned}$$

$S_1 = S_2$ より、

$$\int_a^0 f(x) \,dx - \int_\alpha^0 \{ f(x) - mx \} \,dx = \int_0^\beta \{ f(x) - mx \} \,dx - \int_0^b f(x) \,dx$$

移項して整理すると、

$$\int_a^b f(x) \,dx = \int_\alpha^\beta \{ f(x) - mx \} \,dx$$

となり、(i) と同じ等式が得られる。

以上より、$m$ の正負によらず、

$$\frac{1}{6}(b - a)^3 = \frac{1}{6}(\beta - \alpha)^3$$

が成り立つ。これより $b - a = \beta - \alpha$ であるから、両辺を2乗して

$$(b - a)^2 = (\beta - \alpha)^2$$

解と係数の関係を用いて変形すると、

$$(a + b)^2 - 4ab = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta$$

$$2^2 - 4(-1) = (2 - m)^2 - 4(-1)$$

$$8 = (m - 2)^2 + 4$$

$$(m - 2)^2 = 4$$

$$m - 2 = \pm 2$$

$$m = 0, 4$$

条件より $m \neq 0$ であるから、$m = 4$ である。

解説

一見すると複雑な領域の面積に見えるが、$y$ 軸（$x=0$）を境界として図形を分割・結合することで、おなじみの「放物線と直線で囲まれた面積」全体が等しいという非常にシンプルな関係式（$\int_a^b f(x) dx = \int_\alpha^\beta \{ f(x) - mx \} dx$）に帰着できる点が最大のポイントである。大小関係を丁寧に場合分けし、定積分の線形性をうまく利用することで、煩雑な3次式の代入計算を回避できる。

答え

$m = 4$