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数学2 面積・接線問題 71 解説

方針・初手

(1)は、関数を微分して接線の方程式の公式にそのまま代入して求める。 (2)は、2点における接線が一致するという条件から立式する。または、4次関数が2箇所で接する直線の条件を、恒等式として処理する手法も有効である。 (3)は、上下関係を把握し、定積分を計算する。(2)で恒等式を用いた場合は、被積分関数が因数分解された形で表されることを活用すると計算が楽になる。

解法1

(1) $f(x) = x^4 + ax^3 + bx^2$ より、導関数は以下のようになる。

$$f'(x) = 4x^3 + 3ax^2 + 2bx$$

点 $(1, f(1))$ における接線 $\ell$ の方程式は、

$$y - f(1) = f'(1)(x - 1)$$

である。$f(1) = 1 + a + b$、$f'(1) = 4 + 3a + 2b$ を代入して整理する。

$$y - (1 + a + b) = (4 + 3a + 2b)(x - 1)$$

$$y = (3a + 2b + 4)x - (3a + 2b + 4) + 1 + a + b$$

$$y = (3a + 2b + 4)x - 2a - b - 3$$

(2) 点 $(-2, f(-2))$ における接線を $m$ とする。 (1)と同様にして、$f(-2) = 16 - 8a + 4b$、$f'(-2) = -32 + 12a - 4b$ であるから、接線 $m$ の方程式は以下のようになる。

$$y - (16 - 8a + 4b) = (-32 + 12a - 4b)(x + 2)$$

$$y = (12a - 4b - 32)x - 64 + 24a - 8b + 16 - 8a + 4b$$

$$y = (12a - 4b - 32)x + 16a - 4b - 48$$

条件より、接線 $\ell$ と接線 $m$ が一致するので、傾きと $y$ 切片がそれぞれ等しい。

$$\begin{cases} 3a + 2b + 4 = 12a - 4b - 32 \\ -2a - b - 3 = 16a - 4b - 48 \end{cases}$$

これを整理する。

$$\begin{cases} 9a - 6b = 36 \\ 18a - 3b = 45 \end{cases}$$

両辺を割って簡略化する。

$$\begin{cases} 3a - 2b = 12 \\ 6a - b = 15 \end{cases}$$

下の式より $b = 6a - 15$ である。これを上の式に代入する。

$$3a - 2(6a - 15) = 12$$

$$-9a + 30 = 12$$

$$9a = 18$$

よって $a = 2$ である。このとき $b = 6 \cdot 2 - 15 = -3$ となる。以上より、$a = 2, b = -3$ を得る。

(3) (2)の結果より、$a=2, b=-3$ であるから、関数 $f(x)$ と接線 $\ell$ はそれぞれ以下のようになる。

$$f(x) = x^4 + 2x^3 - 3x^2$$

$$\ell: y = \{ 3(2) + 2(-3) + 4 \}x - 2(2) - (-3) - 3 = 4x - 4$$

曲線 $C$ と接線 $\ell$ の交点の $x$ 座標は、$x^4 + 2x^3 - 3x^2 = 4x - 4$ の実数解である。これらは $x=1, -2$ において接することがわかっているため、$f(x) - (4x - 4) = 0$ は重解 $x=1, -2$ を持つ。すなわち、因数定理より以下のように因数分解される。

$$x^4 + 2x^3 - 3x^2 - 4x + 4 = (x - 1)^2 (x + 2)^2$$

この式から、すべての実数 $x$ において $(x - 1)^2 (x + 2)^2 \geqq 0$ であるため、区間 $-2 \leqq x \leqq 1$ において $f(x) \geqq 4x - 4$ であることがわかる。したがって、求める面積 $S$ は以下の定積分で計算できる。

$$S = \int_{-2}^{1} \{ f(x) - (4x - 4) \} dx$$

$$S = \int_{-2}^{1} (x - 1)^2 (x + 2)^2 dx$$

ここで $t = x - 1$ と積分変数を変換する。$dx = dt$ であり、積分区間は $-2 \to 1$ から $-3 \to 0$ になる。

$$S = \int_{-3}^{0} t^2 (t + 3)^2 dt$$

$$S = \int_{-3}^{0} (t^4 + 6t^3 + 9t^2) dt$$

$$S = \left[ \frac{1}{5}t^5 + \frac{3}{2}t^4 + 3t^3 \right]_{-3}^{0}$$

$$S = 0 - \left\{ \frac{1}{5}(-243) + \frac{3}{2}(81) + 3(-27) \right\}$$

$$S = 243 \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right)$$

$$S = 243 \cdot \frac{6 - 15 + 10}{30}$$

$$S = \frac{243}{30}$$

$$S = \frac{81}{10}$$

解法2

(2) 4次関数 $y = f(x)$ のグラフ $C$ が、直線 $\ell: y = mx + n$ に $x = 1, -2$ の2点で接するための条件を考える。これは、$x$ の方程式 $f(x) - (mx + n) = 0$ が $x = 1, -2$ をそれぞれ重解として持つことと同値である。 $x^4$ の係数が $1$ であるから、恒等式として次のように表せる。

$$x^4 + ax^3 + bx^2 - (mx + n) = (x - 1)^2 (x + 2)^2$$

右辺を展開する。

$$(x^2 - 2x + 1)(x^2 + 4x + 4) = x^4 + 2x^3 - 3x^2 - 4x + 4$$

両辺の係数を比較して以下の連立方程式を得る。

$$\begin{cases} a = 2 \\ b = -3 \\ -m = -4 \\ -n = 4 \end{cases}$$

これより $a = 2, b = -3$ および $m = 4, n = -4$ が導かれる。 (1)で求めた接線 $\ell$ の式 $y = (3a + 2b + 4)x - 2a - b - 3$ に対して、$a=2, b=-3$ を代入すると、

$$y = (6 - 6 + 4)x - 4 + 3 - 3 = 4x - 4$$

となり、$m=4, n=-4$ と一致する。したがって、$a = 2, b = -3$ である。

解説

複接線（2点で接する直線）に関する典型的な問題である。 (2)においては、2つの接点がわかっていることから、それぞれの $x$ 座標における接線を求めて係数比較する解法1と、重解の条件から恒等式を立てる解法2が考えられる。解法2の方が計算量が少なく、見通しが良い。

(3)の面積計算では、被積分関数が必ず $f(x) - (\text{接線の式}) = (x - \alpha)^2 (x - \beta)^2$ の形になる。この定積分は、置換積分を用いるか、いわゆる $\frac{1}{30}$ 公式として知られる以下の関係式を用いることで、素早くかつ正確に計算できる。

$$\int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)^2 (x - \beta)^2 dx = \frac{(\beta - \alpha)^5}{30}$$

これを本問に適用すると、直接以下のように答えを出せる。

$$\int_{-2}^{1} (x - 1)^2 (x + 2)^2 dx = \frac{\{ 1 - (-2) \}^5}{30} = \frac{243}{30} = \frac{81}{10}$$

試験場では展開して愚直に積分してもよいが、計算ミスを防ぐために工夫を取り入れたい。