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数学2 面積・接線問題 74 解説

方針・初手

(1) は関数 $f(x)$ を微分し、増減を調べて極値を求める。 (2) は $f(x)=g(x)$ の実数解の個数を考える。方程式を整理すると $x^3$ の項が消去され、2次方程式に帰着できることに着目する。 (3) は2曲線の上下関係を調べ、定積分により面積を求める。交点の $x$ 座標を文字でおき、「$\frac{1}{6}$ 公式」と解と係数の関係を利用して計算を簡略化する。 (4) は (3) の結果を用いて、$\frac{S(a)}{a}$ が最大となる条件を2次関数の最大値の問題に帰着させる。

解法1

(1) $f(x) = x^3 - ax + a$ を $x$ について微分すると

$$f'(x) = 3x^2 - a$$

$f'(x) = 0$ とすると、$3x^2 - a = 0$ より $x^2 = \frac{a}{3}$ である。 $a > 0$ であるから、

$$x = \pm \sqrt{\frac{a}{3}}$$

$f'(x)$ の符号は、$x < -\sqrt{\frac{a}{3}}$ および $x > \sqrt{\frac{a}{3}}$ の範囲で正、$-\sqrt{\frac{a}{3}} < x < \sqrt{\frac{a}{3}}$ の範囲で負となる。ゆえに、$f(x)$ は $x = -\sqrt{\frac{a}{3}}$ で極大、$x = \sqrt{\frac{a}{3}}$ で極小となる。それぞれの極値を計算する。極大値は

$$\begin{aligned} f\left(-\sqrt{\frac{a}{3}}\right) &= \left(-\sqrt{\frac{a}{3}}\right)^3 - a\left(-\sqrt{\frac{a}{3}}\right) + a \\ &= -\frac{a}{3}\sqrt{\frac{a}{3}} + a\sqrt{\frac{a}{3}} + a \\ &= a + \frac{2a}{3}\sqrt{\frac{a}{3}} \\ &= a + \frac{2a\sqrt{3a}}{9} \end{aligned}$$

極小値は

$$\begin{aligned} f\left(\sqrt{\frac{a}{3}}\right) &= \left(\sqrt{\frac{a}{3}}\right)^3 - a\left(\sqrt{\frac{a}{3}}\right) + a \\ &= \frac{a}{3}\sqrt{\frac{a}{3}} - a\sqrt{\frac{a}{3}} + a \\ &= a - \frac{2a}{3}\sqrt{\frac{a}{3}} \\ &= a - \frac{2a\sqrt{3a}}{9} \end{aligned}$$

(2) $y = f(x)$ のグラフと $y = g(x)$ のグラフの共有点の $x$ 座標は、方程式 $f(x) = g(x)$ の実数解である。

$$x^3 - ax + a = (x+a)^3$$

右辺を展開して整理すると

$$x^3 - ax + a = x^3 + 3ax^2 + 3a^2x + a^3$$

$$3ax^2 + (3a^2+a)x + a^3-a = 0$$

$a > 0$ であるから、両辺を $a$ で割ると

$$3x^2 + (3a+1)x + a^2-1 = 0$$

共有点の個数が2個となるのは、この $x$ についての2次方程式が異なる2つの実数解をもつときである。この2次方程式の判別式を $D$ とすると、$D > 0$ が条件となる。

$$\begin{aligned} D &= (3a+1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (a^2-1) \\ &= 9a^2 + 6a + 1 - 12a^2 + 12 \\ &= -3a^2 + 6a + 13 \end{aligned}$$

よって、$-3a^2 + 6a + 13 > 0$ すなわち $3a^2 - 6a - 13 < 0$ を解く。方程式 $3a^2 - 6a - 13 = 0$ の解は、解の公式より

$$a = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 3 \cdot (-13)}}{3} = \frac{3 \pm \sqrt{48}}{3} = 1 \pm \frac{4\sqrt{3}}{3}$$

したがって、不等式の解は

$$1 - \frac{4\sqrt{3}}{3} < a < 1 + \frac{4\sqrt{3}}{3}$$

問題の条件 $a > 0$ と、$1 - \frac{4\sqrt{3}}{3} = \frac{3-\sqrt{48}}{3} < 0$ であることを考慮して共通範囲をとると

$$0 < a < 1 + \frac{4\sqrt{3}}{3}$$

(3) (2)で求めた範囲において、方程式 $3x^2 + (3a+1)x + a^2-1 = 0$ の異なる2つの実数解を $\alpha, \beta$ （$\alpha < \beta$）とおく。このとき、解と係数の関係より

$$\alpha + \beta = -\frac{3a+1}{3}, \quad \alpha\beta = \frac{a^2-1}{3}$$

が成り立つ。また、2曲線の上下関係について

$$g(x) - f(x) = a\{3x^2 + (3a+1)x + a^2-1\} = 3a(x-\alpha)(x-\beta)$$

$a > 0$ であり、区間 $\alpha < x < \beta$ では $(x-\alpha)(x-\beta) < 0$ となるため、$g(x) - f(x) < 0$、すなわち $f(x) > g(x)$ である。よって、求める面積 $S(a)$ は

$$\begin{aligned} S(a) &= \int_{\alpha}^{\beta} \{f(x) - g(x)\} dx \\ &= \int_{\alpha}^{\beta} \{-3a(x-\alpha)(x-\beta)\} dx \\ &= -3a \left\{ -\frac{1}{6} (\beta - \alpha)^3 \right\} \\ &= \frac{a}{2} (\beta - \alpha)^3 \end{aligned}$$

ここで、$(\beta - \alpha)^2$ を計算する。

$$\begin{aligned} (\beta - \alpha)^2 &= (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta \\ &= \left(-\frac{3a+1}{3}\right)^2 - 4 \cdot \frac{a^2-1}{3} \\ &= \frac{9a^2+6a+1}{9} - \frac{12a^2-12}{9} \\ &= \frac{-3a^2+6a+13}{9} \end{aligned}$$

$\beta > \alpha$ より、正の平方根をとると

$$\beta - \alpha = \frac{\sqrt{-3a^2+6a+13}}{3}$$

よって、面積 $S(a)$ は

$$\begin{aligned} S(a) &= \frac{a}{2} \left( \frac{\sqrt{-3a^2+6a+13}}{3} \right)^3 \\ &= \frac{a(-3a^2+6a+13)\sqrt{-3a^2+6a+13}}{54} \end{aligned}$$

(4) (3) の結果より

$$\frac{S(a)}{a} = \frac{(-3a^2+6a+13)\sqrt{-3a^2+6a+13}}{54}$$

となる。ここで $u(a) = -3a^2+6a+13$ とおくと、$\frac{S(a)}{a} = \frac{u(a)\sqrt{u(a)}}{54} = \frac{\{u(a)\}^{\frac{3}{2}}}{54}$ である。この式は $u(a) \ge 0$ の範囲で $u(a)$ に対して単調に増加するため、$u(a)$ が最大になるときに $\frac{S(a)}{a}$ も最大となる。 $u(a)$ を平方完成すると

$$\begin{aligned} u(a) &= -3(a^2 - 2a) + 13 \\ &= -3(a-1)^2 + 16 \end{aligned}$$

$a$ の変域は $0 < a < 1 + \frac{4\sqrt{3}}{3}$ であり、$a=1$ はこの区間に含まれる。したがって、$u(a)$ は $a=1$ のとき最大値 $16$ をとる。このとき、$\frac{S(a)}{a}$ の最大値は

$$\frac{16\sqrt{16}}{54} = \frac{16 \cdot 4}{54} = \frac{64}{54} = \frac{32}{27}$$

となる。

解説

2つの3次関数のグラフの交点と、それで囲まれる面積の最大値を求める典型的な微積分・方程式の融合問題である。 (2) において、3次方程式の実数解の個数を考える際、$x^3$ の項が相殺されて2次方程式になることに気づくのが第一歩となる。 (3) では面積を求めるにあたり、交点の $x$ 座標を文字で置き「$\frac{1}{6}$ 公式」を適用することで、膨大な計算量を回避できる。解と係数の関係と組み合わせて処理する手法は、難関大の微積分問題で必須のテクニックである。 (4) では、根号の中身の2次関数の最大値を求める問題に帰着できるため、微分法を用いずに平方完成だけで簡潔に処理できる。