数学2 面積・接線 問題 75 解説

方針・初手

絶対値を含む関数 $C_1$ の式を、中身の正負によって場合分けして外すことが第一歩である。 接点 $(x_0, y_0)$ がどの場合分けの範囲に含まれるかを仮定し、共通接線をもつ条件（関数値が等しいこと、および微分係数が等しいこと）から未知数 $a$ と接点の座標を特定する。 その後、2つの曲線の交点をすべて求め、グラフの上下関係を把握したうえで面積の積分計算を行う。

解法1

$f(x) = |x^2 - 1|$、$g(x) = x^2 - 2ax + 2$ とおく。 条件 $|x_0| \neq 1$ より $x_0 \neq \pm 1$ であるから、$f(x)$ は $x = x_0$ において微分可能である。 $C_1$ と $C_2$ が点 $(x_0, y_0)$ で共通の接線をもつための条件は、以下の2式が成り立つことである。

$$\begin{cases} f(x_0) = g(x_0) \\ f'(x_0) = g'(x_0) \end{cases}$$

接点 $x_0$ の範囲によって、以下の2つの場合に分けて考える。

(i) $x_0 < -1$ または $1 < x_0$ のとき

この範囲では $f(x) = x^2 - 1$ であるから、$f'(x) = 2x$、$g'(x) = 2x - 2a$ となる。 微分係数が等しい条件より、

$$2x_0 = 2x_0 - 2a$$

これを解くと $a = 0$ となるが、これは $a$ が正の実数であるという条件に反する。 したがって、この場合は不適である。

(ii) $-1 < x_0 < 1$ のとき

この範囲では $f(x) = -x^2 + 1$ であるから、$f'(x) = -2x$、$g'(x) = 2x - 2a$ となる。 微分係数が等しい条件より、

$$-2x_0 = 2x_0 - 2a$$

$$4x_0 = 2a$$

$$x_0 = \frac{a}{2}$$

次に、関数値が等しい条件 $f(x_0) = g(x_0)$ に代入する。

$$-x_0^2 + 1 = x_0^2 - 2ax_0 + 2$$

$$2x_0^2 - 2ax_0 + 1 = 0$$

これに $x_0 = \frac{a}{2}$ を代入して整理する。

$$2\left(\frac{a}{2}\right)^2 - 2a\left(\frac{a}{2}\right) + 1 = 0$$

$$\frac{a^2}{2} - a^2 + 1 = 0$$

$$-\frac{a^2}{2} + 1 = 0$$

$$a^2 = 2$$

$a > 0$ であるから、$a = \sqrt{2}$ である。 このとき、$x_0 = \frac{\sqrt{2}}{2}$ となり、条件 $-1 < x_0 < 1$ を満たす。

以上より、$a = \sqrt{2}$ であり、$C_2$ の方程式は $y = x^2 - 2\sqrt{2}x + 2$ である。 次に、$C_1$ と $C_2$ の共有点をすべて求める。

$x \le -1$ または $1 \le x$ のとき、$C_1$ の式は $y = x^2 - 1$ となるので、交点は以下の方程式を満たす。

$$x^2 - 1 = x^2 - 2\sqrt{2}x + 2$$

$$2\sqrt{2}x = 3$$

$$x = \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$$

$\frac{3\sqrt{2}}{4} > 1$ であるため、これは $x \ge 1$ の範囲に適する交点である。 （$-1 < x < 1$ の範囲の共有点は、すでに求めた接点 $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ のみである）

したがって、$C_1$ と $C_2$ で囲まれる部分は、区間 $\frac{\sqrt{2}}{2} \le x \le \frac{3\sqrt{2}}{4}$ に存在する。 この区間における上下関係を調べる。

$\frac{\sqrt{2}}{2} \le x \le 1$ のとき、

$$g(x) - f(x) = (x^2 - 2\sqrt{2}x + 2) - (-x^2 + 1) = 2x^2 - 2\sqrt{2}x + 1 = 2\left(x - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 \ge 0$$

$1 \le x \le \frac{3\sqrt{2}}{4}$ のとき、

$$g(x) - f(x) = (x^2 - 2\sqrt{2}x + 2) - (x^2 - 1) = -2\sqrt{2}x + 3 \ge 0$$

いずれの区間においても $C_2$ が $C_1$ の上側（または一致）にある。 よって、求める面積 $S$ は、$x = 1$ を境に被積分関数が変わることに注意して、以下のように立式できる。

$$S = \int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1} \{g(x) - (-x^2 + 1)\} dx + \int_{1}^{\frac{3\sqrt{2}}{4}} \{g(x) - (x^2 - 1)\} dx$$

$$S = \int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1} \left(2x^2 - 2\sqrt{2}x + 1\right) dx + \int_{1}^{\frac{3\sqrt{2}}{4}} \left(-2\sqrt{2}x + 3\right) dx$$

それぞれの積分を計算する。第1項は平方完成された形を利用する。

$$\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1} 2\left(x - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 dx = \left[ \frac{2}{3}\left(x - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^3 \right]_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1}$$

$$= \frac{2}{3}\left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^3$$

$$= \frac{2}{3} \left( 1 - \frac{3\sqrt{2}}{2} + \frac{3 \cdot 2}{4} - \frac{2\sqrt{2}}{8} \right)$$

$$= \frac{2}{3} \left( \frac{5}{2} - \frac{7\sqrt{2}}{4} \right) = \frac{5}{3} - \frac{7\sqrt{2}}{6}$$

第2項の積分を計算する。

$$\int_{1}^{\frac{3\sqrt{2}}{4}} \left(-2\sqrt{2}x + 3\right) dx = \left[ -\sqrt{2}x^2 + 3x \right]_{1}^{\frac{3\sqrt{2}}{4}}$$

$$= \left( -\sqrt{2} \cdot \frac{18}{16} + 3 \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4} \right) - \left( -\sqrt{2} + 3 \right)$$

$$= \left( -\frac{9\sqrt{2}}{8} + \frac{9\sqrt{2}}{4} \right) + \sqrt{2} - 3$$

$$= \frac{9\sqrt{2}}{8} + \sqrt{2} - 3 = \frac{17\sqrt{2}}{8} - 3$$

これらを足し合わせて、最終的な面積 $S$ を得る。

$$S = \left(\frac{5}{3} - \frac{7\sqrt{2}}{6}\right) + \left(\frac{17\sqrt{2}}{8} - 3\right)$$

$$= \left( \frac{5}{3} - 3 \right) + \left( \frac{17}{8} - \frac{7}{6} \right)\sqrt{2}$$

$$= -\frac{4}{3} + \left( \frac{51 - 28}{24} \right)\sqrt{2}$$

$$= \frac{23\sqrt{2}}{24} - \frac{4}{3}$$

解説

絶対値記号を含む関数と放物線が接する条件を処理し、囲まれる面積を求める微積分における標準的な問題である。 接点の $x$ 座標がどの区間にあるかで場合分けを確実に行うことが重要である。また、面積計算の積分区間 $[ \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{3\sqrt{2}}{4} ]$ において、絶対値の中身の正負が $x=1$ で切り替わるため、積分を2つに分割して計算する必要がある点に注意したい。 なお、後半の積分 $\int_{1}^{\frac{3\sqrt{2}}{4}} (-2\sqrt{2}x + 3) dx$ は、直線 $y = -2\sqrt{2}x + 3$ と $x$ 軸で囲まれる直角三角形の面積として図形的に計算することで、計算ミスを防ぐ工夫も有効である。

答え

$$\frac{23\sqrt{2}}{24} - \frac{4}{3}$$