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数学2 面積・接線問題 77 解説

方針・初手

(1) では、関数 $f(x)$ が $x=1$ で極小値をとるための必要条件である $f(1)=13$ および $f'(1)=0$ を立式し、定数 $a, b$ の値を求める。求めた $a, b$ に対し、実際に $x=1$ の前後で $f'(x)$ の符号が負から正へ変化するかを (2) の増減表で確認する。

(3) では、曲線と直線が $x=p$ と $x=-p$ で接するという条件を、差の関数 $f(x) - (直線の式)$ が $(x-p)^2(x+p)^2$ を因数にもつという恒等式の問題に帰着させて解く。

(4) では、(3) で作成した差の関数を積分して面積を求める。積分区間が対称であることと、被積分関数が偶関数であることを利用して計算の負担を減らす。

解法1

(1)

$f(x) = x^4 + ax^2 + bx + 12$ より、導関数は

$$f'(x) = 4x^3 + 2ax + b$$

となる。

$x=1$ で極小値 $13$ をとるための必要条件は、$f(1) = 13$ かつ $f'(1) = 0$ である。これを立式すると、

$$1 + a + b + 12 = 13$$

$$4 + 2a + b = 0$$

第1式より $a + b = 0$ であり、第2式より $2a + b = -4$ である。これらの連立方程式を解いて、

$$a = -4, b = 4$$

このとき、$f(x) = x^4 - 4x^2 + 4x + 12$ であり、

$$f'(x) = 4x^3 - 8x + 4 = 4(x^3 - 2x + 1) = 4(x-1)(x^2+x-1)$$

となる。$f'(x) = 0$ を解くと、$x = 1, \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$ である。これをもとに次問で増減表を作成し、実際に $x=1$ で極小値をとることを確認する。

(2)

(1) の結果より、$f'(x) = 0$ となる $x$ の値は $x = 1, \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}, \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ である。 $2 < \sqrt{5} < 3$ であるから、

$$\frac{-1 - \sqrt{5}}{2} < \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} < \frac{-1 + 3}{2} = 1$$

が成り立つ。ここで、$\alpha = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}, \beta = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ とおくと、$f(x)$ の増減表は以下のようになる。

$x$	$\cdots$	$\alpha$	$\cdots$	$\beta$	$\cdots$	$1$	$\cdots$
$f'(x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$\searrow$	極小	$\nearrow$	極大	$\searrow$	極小	$\nearrow$

増減表より、関数 $f(x)$ は確かに $x=1$ で極小値をとるため、(1) で求めた $a, b$ の値は適する。また、$f(x)$ が極大値をとるときの $x$ の値は、増減表から

$$x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$$

であることが分かる。

(3)

直線 $\ell$ の方程式を $y = mx + n$ ($m, n$ は定数) とおく。曲線 $y=f(x)$ と直線 $\ell$ が $x=p, -p$ の $2$ 点で接するため、差の関数について以下の恒等式が成り立つ。

$$f(x) - (mx + n) = (x - p)^2 (x - (-p))^2$$

左辺と右辺をそれぞれ展開して整理する。左辺について、

$$f(x) - (mx + n) = x^4 - 4x^2 + 4x + 12 - mx - n = x^4 - 4x^2 + (4-m)x + 12 - n$$

右辺について、

$$(x - p)^2 (x + p)^2 = \{ (x - p)(x + p) \}^2 = (x^2 - p^2)^2 = x^4 - 2p^2x^2 + p^4$$

両辺の係数を比較すると、以下の関係式が得られる。

$$-4 = -2p^2$$

$$4 - m = 0$$

$$12 - n = p^4$$

第1式より $p^2 = 2$ であり、$p > 0$ であるから $p = \sqrt{2}$ である。第2式より $m = 4$ である。第3式に $p^2 = 2$ を代入して、$12 - n = 4$ より $n = 8$ である。よって、求める $p$ の値と直線 $\ell$ の方程式は

$$p = \sqrt{2}$$

$$\ell : y = 4x + 8$$

(4)

求める面積を $S$ とおく。 (3) の恒等式より、$f(x) - (4x + 8) = (x^2 - 2)^2 \ge 0$ であるから、すべての実数 $x$ において $f(x) \ge 4x + 8$ が成り立つ。したがって、曲線 $y=f(x)$ は直線 $\ell$ の上側にあるため、面積 $S$ は次のように表される。

$$S = \int_{-p}^{p} \{ f(x) - (4x + 8) \} dx = \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (x^2 - 2)^2 dx$$

被積分関数を展開し、偶関数の定積分の性質 $\int_{-a}^{a} g(x) dx = 2 \int_{0}^{a} g(x) dx$ （$g(x)$ が偶関数の場合）を利用して計算する。

$$S = \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (x^4 - 4x^2 + 4) dx$$

$$S = 2 \int_{0}^{\sqrt{2}} (x^4 - 4x^2 + 4) dx$$

与えられた積分公式を用いて計算を進める。

$$S = 2 \left[ \frac{x^5}{5} - \frac{4}{3}x^3 + 4x \right]_{0}^{\sqrt{2}}$$

$$S = 2 \left( \frac{(\sqrt{2})^5}{5} - \frac{4}{3}(\sqrt{2})^3 + 4\sqrt{2} \right)$$

$$S = 2 \left( \frac{4\sqrt{2}}{5} - \frac{8\sqrt{2}}{3} + 4\sqrt{2} \right)$$

$$S = 2\sqrt{2} \left( \frac{4}{5} - \frac{8}{3} + 4 \right)$$

$$S = 2\sqrt{2} \left( \frac{12 - 40 + 60}{15} \right)$$

$$S = 2\sqrt{2} \left( \frac{32}{15} \right)$$

$$S = \frac{64\sqrt{2}}{15}$$

解説

微分法と積分法の標準的な問題を通じた総合力の確認に適している。 (1) において、$f'(1)=0$ は極値をとるための必要条件にすぎないため、実際に極値をとるかどうか（十分性）の確認を怠らないように注意が必要である。本解法では (2) で増減表を書く際に同時に確認している。 (3) の「2点で接する直線の式」を求める手法として、接点の $x$ 座標を文字でおき、接線の方程式を一致させる方法もあるが、本解法のように差の関数を恒等式として設定し、係数比較を行う方法が計算量が少なくミスを防ぎやすい。 (4) の面積計算では、(3) で得られた差の関数 $(x^2-p^2)^2$ をそのまま利用し、さらに積分区間が原点対称であることを利用して偶関数の計算規則を用いることで、計算量を劇的に減らすことができる。