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数学2 面積・接線問題 78 解説

方針・初手

極値の条件から $f'(1)=0$ かつ $f(1)=3$ を用いて係数 $a, b$ を求める。(1) の結果をもとに接線 $\ell$ の方程式を求め、それが放物線の接線と一致する条件から未知数 $c, p$ を決定する。面積計算においては、3つのグラフの位置関係（上下関係と接点・交点）を調べて積分区間と被積分関数を正しく設定する。

解法1

(1)

関数 $f(x) = -x^3 + ax^2 - 11x + b$ を微分すると

$$f'(x) = -3x^2 + 2ax - 11$$

$x = 1$ で極値 $3$ をとるので、$f'(1) = 0$ かつ $f(1) = 3$ が必要である。

$$f'(1) = -3 + 2a - 11 = 2a - 14 = 0$$

これより $a = 7$ である。また、

$$f(1) = -1 + a - 11 + b = a + b - 12 = 3$$

これに $a = 7$ を代入して、$7 + b - 12 = 3$ より $b = 8$ を得る。

逆にこのとき、$f(x) = -x^3 + 7x^2 - 11x + 8$ となり、その導関数は

$$f'(x) = -3x^2 + 14x - 11 = -(3x - 11)(x - 1)$$

よって、$x = 1$ の前後で $f'(x)$ の符号は負から正へと変化し、確かに $x = 1$ で極小値 $3$ をとる。したがって、求める定数の値は $a = 7$, $b = 8$ である。

(2)

(1) より $f(x) = -x^3 + 7x^2 - 11x + 8$ であり、$f'(x) = -3x^2 + 14x - 11$ である。点 $(2, f(2))$ における $y$ 座標と接線の傾きを求める。

$$f(2) = -2^3 + 7 \cdot 2^2 - 11 \cdot 2 + 8 = -8 + 28 - 22 + 8 = 6$$

$$f'(2) = -3 \cdot 2^2 + 14 \cdot 2 - 11 = -12 + 28 - 11 = 5$$

よって、直線 $\ell$ は点 $(2, 6)$ を通り、傾き $5$ の直線であるから、その方程式は

$$y - 6 = 5(x - 2)$$

すなわち、$y = 5x - 4$ である。

(3)

放物線 $y = 3x^2 + 17x + c$ を $g(x)$ とおくと、$g'(x) = 6x + 17$ である。点 $(p, 3p^2 + 17p + c)$ における接線の方程式は

$$y - (3p^2 + 17p + c) = (6p + 17)(x - p)$$

整理すると、

$$y = (6p + 17)x - 3p^2 + c$$

これが $\ell: y = 5x - 4$ と一致するので、各係数を比較して

$$\begin{cases} 6p + 17 = 5 \\ -3p^2 + c = -4 \end{cases}$$

第1式より $6p = -12$ となり、$p = -2$ を得る。これを第2式に代入すると、$-3(-2)^2 + c = -4$ より $-12 + c = -4$ となり、$c = 8$ を得る。

(4)

(3) より $p = -2, c = 8$ であり、放物線は $g(x) = 3x^2 + 17x + 8$ である。指定された範囲は $-2 \leqq x \leqq 2$ である。この範囲において、曲線 $y = f(x)$、放物線 $y = g(x)$ および直線 $\ell: y = 5x - 4$ の上下関係と交点を調べる。

$g(x)$ と直線 $\ell$ の差を考えると、

$$g(x) - (5x - 4) = 3x^2 + 17x + 8 - 5x + 4 = 3(x + 2)^2 \geqq 0$$

となり、$-2 \leqq x \leqq 2$ において放物線は直線 $\ell$ の上側にあり、$x = -2$ で接する。

$f(x)$ と直線 $\ell$ の差を考えると、

$$f(x) - (5x - 4) = -x^3 + 7x^2 - 11x + 8 - 5x + 4 = -x^3 + 7x^2 - 16x + 12$$

因数定理を用いて因数分解すると、$(x - 2)^2$ を因数にもつことから、

$$-x^3 + 7x^2 - 16x + 12 = -(x - 2)^2(x - 3)$$

$-2 \leqq x \leqq 2$ において $x - 3 < 0$ であるから、$-(x - 2)^2(x - 3) \geqq 0$ となる。よって、この範囲で曲線 $y = f(x)$ も直線 $\ell$ の上側にあり、$x = 2$ で接する。

次に、$f(x)$ と $g(x)$ の上下関係を調べる。

$$g(x) - f(x) = (3x^2 + 17x + 8) - (-x^3 + 7x^2 - 11x + 8) = x^3 - 4x^2 + 28x = x(x^2 - 4x + 28)$$

ここで $x^2 - 4x + 28 = (x - 2)^2 + 24 > 0$ であるから、$g(x) - f(x)$ の符号は $x$ の符号と一致する。すなわち、$x = 0$ で $f(x)$ と $g(x)$ は交わり、$-2 \leqq x \leqq 0$ では $g(x) \leqq f(x)$ であり、$0 \leqq x \leqq 2$ では $g(x) \geqq f(x)$ である。

以上より、3つのグラフで囲まれた図形は、直線 $\ell$ を下端とし、上端が $-2 \leqq x \leqq 0$ では $y = g(x)$、$0 \leqq x \leqq 2$ では $y = f(x)$ となる領域である。したがって、求める面積 $S$ は

$$S = \int_{-2}^{0} \{g(x) - (5x - 4)\} dx + \int_{0}^{2} \{f(x) - (5x - 4)\} dx$$

それぞれの積分を計算する。

$$\int_{-2}^{0} 3(x + 2)^2 dx = \left[ (x + 2)^3 \right]_{-2}^{0} = 2^3 - 0 = 8$$

$$\int_{0}^{2} -(x - 2)^2(x - 3) dx = \int_{0}^{2} \{-(x - 2)^3 + (x - 2)^2\} dx$$

$$= \left[ -\frac{1}{4}(x - 2)^4 + \frac{1}{3}(x - 2)^3 \right]_{0}^{2} = 0 - \left( -\frac{1}{4}(-2)^4 + \frac{1}{3}(-2)^3 \right) = -\left( -4 - \frac{8}{3} \right) = \frac{20}{3}$$

よって、求める面積 $S$ は

$$S = 8 + \frac{20}{3} = \frac{44}{3}$$

解説

極値をとる条件から係数を決定し、接線、交点、囲む面積へと続く典型的な微分積分の総合問題である。

(1) では、$f'(1)=0$ が極値をとるための必要条件に過ぎないため、求めた値で実際に極値をとること（十分性）の確認を忘れないようにしたい。

(4) の面積計算においては、グラフの概形を把握することが重要である。共通の接線となる直線 $\ell$ に対して、2つの曲線が $x=-2$ と $x=2$ でそれぞれ接して上側に存在し、途中の $x=0$ で上下が入れ替わるという構造を見抜くことで、正しい積分区間と被積分関数を立式できる。接点を利用して $\int (x-\alpha)^n dx$ の形に持ち込むと計算量が大幅に軽減される。