数学2 面積・接線 問題 79 解説

方針・初手

(1) は、曲線 $C$ の方程式と直線 $\ell$ の方程式を連立して得られる3次方程式が、異なる3つの実数解をもつための条件を求める。 (2) は、与えられた条件 $0 < \alpha < \beta$ から $a$ の値の範囲をさらに絞り込み、区間 $\alpha \leqq x \leqq \beta$ における曲線 $C$ と直線 $\ell$ の上下関係を調べる。面積の定積分では、そのまま展開して計算するほか、$\frac{1}{6}$ 公式の考え方を応用した変形を用いると計算量を減らすことができる。

解法1

(1) 曲線 $C: y = x^3 - 2x^2 + x$ と直線 $\ell: y = ax$ の交点の $x$ 座標は、方程式

$$x^3 - 2x^2 + x = ax$$

の解である。整理すると

$$x^3 - 2x^2 + (1 - a)x = 0$$

$$x(x^2 - 2x + 1 - a) = 0$$

となる。 曲線 $C$ と直線 $\ell$ が異なる3点で交わるための条件は、この3次方程式が異なる3つの実数解をもつことである。 すなわち、2次方程式 $x^2 - 2x + 1 - a = 0$ が $0$ でない異なる2つの実数解をもつことである。 この2次方程式の判別式を $D$ とすると、異なる2つの実数解をもつ条件は $D > 0$ であるから

$$\frac{D}{4} = (-1)^2 - 1 \cdot (1 - a) = a > 0$$

さらに、$x = 0$ を解にもたないための条件は

$$0^2 - 2 \cdot 0 + 1 - a \neq 0$$

すなわち $a \neq 1$ である。 以上より、求める条件は $a > 0$ かつ $a \neq 1$ である。

(2) 交点の $x$ 座標 $0, \alpha, \beta$ のうち、$\alpha, \beta$ は $x^2 - 2x + 1 - a = 0$ の2つの解である。 解の公式より

$$x = 1 \pm \sqrt{a}$$

となる（$a > 0$ より実数である）。 $0 < \alpha < \beta$ であるから、

$$\alpha = 1 - \sqrt{a}, \quad \beta = 1 + \sqrt{a}$$

であり、さらに $0 < \alpha$ より

$$0 < 1 - \sqrt{a}$$

$$\sqrt{a} < 1$$

両辺は正であるから、これを満たす $a$ の範囲は $0 < a < 1$ である（これは (1) の条件を満たす）。 次に、$\alpha \leqq x \leqq \beta$ の範囲における $C$ と $\ell$ の上下関係を調べる。

$$ax - (x^3 - 2x^2 + x) = -x^3 + 2x^2 + (a - 1)x = -x(x - \alpha)(x - \beta)$$

$0 < \alpha \leqq x \leqq \beta$ の範囲において、$x > 0$、$x - \alpha \geqq 0$、$x - \beta \leqq 0$ であるから、

$$-x(x - \alpha)(x - \beta) \geqq 0$$

すなわち、直線 $\ell$ が曲線 $C$ の上側（または同じ高さ）にある。 よって、求める面積 $S$ は次のように立式できる。

$$S = \int_{\alpha}^{\beta} \{ ax - (x^3 - 2x^2 + x) \} dx$$

$$= -\int_{\alpha}^{\beta} x(x - \alpha)(x - \beta) dx$$

ここで、積分計算を容易にするため、被積分関数をつぎのように変形する。

$$x(x - \alpha)(x - \beta) = \{ (x - \alpha) + \alpha \} (x - \alpha)(x - \beta)$$

$$= (x - \alpha)^2 (x - \beta) + \alpha (x - \alpha)(x - \beta)$$

$$= (x - \alpha)^2 \{ (x - \alpha) - (\beta - \alpha) \} + \alpha (x - \alpha)(x - \beta)$$

$$= (x - \alpha)^3 - (\beta - \alpha)(x - \alpha)^2 + \alpha (x - \alpha)(x - \beta)$$

この変形を用いて積分を計算する。

$$S = -\int_{\alpha}^{\beta} \left\{ (x - \alpha)^3 - (\beta - \alpha)(x - \alpha)^2 + \alpha (x - \alpha)(x - \beta) \right\} dx$$

$$= - \left[ \frac{1}{4}(x - \alpha)^4 - \frac{\beta - \alpha}{3}(x - \alpha)^3 \right]_{\alpha}^{\beta} - \alpha \int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)(x - \beta) dx$$

ここで、定積分 $\int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)(x - \beta) dx = -\frac{1}{6}(\beta - \alpha)^3$ であることを用いると

$$S = - \left\{ \frac{1}{4}(\beta - \alpha)^4 - \frac{1}{3}(\beta - \alpha)^4 \right\} - \alpha \left( -\frac{1}{6}(\beta - \alpha)^3 \right)$$

$$= \frac{1}{12}(\beta - \alpha)^4 + \frac{\alpha}{6}(\beta - \alpha)^3$$

$$= \frac{1}{12}(\beta - \alpha)^3 \{ (\beta - \alpha) + 2\alpha \}$$

$$= \frac{1}{12}(\beta - \alpha)^3 (\alpha + \beta)$$

ここで、$\alpha = 1 - \sqrt{a}$、$\beta = 1 + \sqrt{a}$ であるから、

$$\alpha + \beta = 2, \quad \beta - \alpha = 2\sqrt{a}$$

これを代入して、面積 $S$ を求める。

$$S = \frac{1}{12} (2\sqrt{a})^3 \cdot 2$$

$$= \frac{1}{6} \cdot 8a\sqrt{a}$$

$$= \frac{4}{3}a\sqrt{a}$$

解説

• 3次曲線と原点を通る直線の交点に関する標準的な問題である。
• (2) の冒頭で、$0 < \alpha < \beta$ という条件が与えられていることから、単に $\alpha, \beta$ を求めるだけでなく、$a$ の取りうる範囲が $0 < a < 1$ に制限されることを確認する必要がある。これにより、$\alpha$ が正であることが保証され、積分区間における上下関係が決定できる。
• 面積計算の定積分において、そのまま展開して直接積分することも可能だが、交点の $x$ 座標 $\alpha, \beta$ を用いたまま計算を進め、最後に $a$ の式を代入する方針を取ると計算ミスを減らしやすい。

答え

(1) $a > 0$ かつ $a \neq 1$

(2) $S = \frac{4}{3}a\sqrt{a}$