数学2 面積・接線 問題 80 解説

方針・初手

(1) は放物線と直線の式から $y$ を消去して得られる $x$ の2次方程式が、異なる2つの実数解をもつ条件を判別式を用いて求める。 (2) は放物線と直線で囲まれる部分の面積の公式（いわゆる $\frac{1}{6}$ 公式）を利用して面積 $S$ を $a$ の式で表し、その最大値を考える。

解法1

(1)

放物線 $C: y = 2x^2 + 4x + 3$ と直線 $L: y = -2ax - a^2$ の交点の $x$ 座標は、次の方程式の実数解である。

$$2x^2 + 4x + 3 = -2ax - a^2$$

整理すると、

$$2x^2 + 2(a+2)x + a^2 + 3 = 0 \quad \cdots \text{①}$$

$C$ と $L$ が異なる2点で交わるための条件は、2次方程式①が異なる2つの実数解をもつことである。 ①の判別式を $D$ とすると、$D > 0$ であればよい。

$$\frac{D}{4} = (a+2)^2 - 2(a^2 + 3)$$

$$\frac{D}{4} = a^2 + 4a + 4 - 2a^2 - 6 = -a^2 + 4a - 2$$

$-a^2 + 4a - 2 > 0$ より、

$$a^2 - 4a + 2 < 0$$

これを解いて、

$$2 - \sqrt{2} < a < 2 + \sqrt{2}$$

(2)

(1) で求めた範囲に $a$ があるとき、方程式①の異なる2つの実数解を $\alpha, \beta \ (\alpha < \beta)$ とおく。 このとき、解の公式より、

$$\alpha = \frac{-(a+2) - \sqrt{-a^2+4a-2}}{2}, \quad \beta = \frac{-(a+2) + \sqrt{-a^2+4a-2}}{2}$$

よって、

$$\beta - \alpha = \sqrt{-a^2+4a-2}$$

区間 $\alpha \leqq x \leqq \beta$ において、直線 $L$ は放物線 $C$ の上側にあるため、囲まれる図形の面積 $S$ は次のように計算できる。

$$\begin{aligned} S &= \int_{\alpha}^{\beta} \{ (-2ax - a^2) - (2x^2 + 4x + 3) \} dx \\ &= \int_{\alpha}^{\beta} \{ -2x^2 - 2(a+2)x - (a^2+3) \} dx \\ &= -2 \int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)(x - \beta) dx \\ &= -2 \left( -\frac{1}{6} \right) (\beta - \alpha)^3 \\ &= \frac{1}{3} (\beta - \alpha)^3 \end{aligned}$$

これに $\beta - \alpha = \sqrt{-a^2+4a-2}$ を代入すると、

$$S = \frac{1}{3} \left( \sqrt{-a^2+4a-2} \right)^3$$

ルートの中の関数を $f(a) = -a^2+4a-2$ とおく。 平方完成すると、

$$f(a) = -(a-2)^2 + 2$$

(1) より定義域は $2 - \sqrt{2} < a < 2 + \sqrt{2}$ であるから、この範囲において $f(a)$ は $a = 2$ のとき最大値 $2$ をとる。 $S$ は $f(a)$ が最大のときに最大となるので、$S$ の最大値は、

$$S = \frac{1}{3} (\sqrt{2})^3 = \frac{2\sqrt{2}}{3}$$

解説

2次関数と直線の交点および面積に関する標準的な問題である。 面積の計算においては、定積分をそのまま計算するのではなく、いわゆる $\frac{1}{6}$ 公式 $\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)(x-\beta)dx = -\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3$ を活用することで計算量を大幅に減らし、計算ミスを防ぐことができる。 2次方程式の解の差 $\beta - \alpha$ を求める際、本解のように解の公式から直接差をとる方法のほか、解と係数の関係から $(\beta-\alpha)^2 = (\alpha+\beta)^2 - 4\alpha\beta$ を計算して平方根をとる手法もよく用いられるので、適宜使い分けられるようにしておきたい。

答え

(1)

$2 - \sqrt{2} < a < 2 + \sqrt{2}$

(2)

$a = 2$ のとき、最大値 $\frac{2\sqrt{2}}{3}$