トップ› 基礎問題› 数学2› 積分法› 面積・接線› 問題 86

数学2 面積・接線問題 86 解説

方針・初手

絶対値記号を含む関数 $f(x)$ を区間ごとに場合分けして絶対値を外すことが第一歩である。続いて関数 $g(x)$ について考えるが、定積分の性質 $\int_0^x f(t) dt + \int_x^6 f(t) dt = \int_0^6 f(t) dt$ に着目すると、あらかじめ $\int_0^6 f(t) dt$ を計算しておくことで式を大きく簡略化できる。

解法1

(1)

まず、$f(x)$ の絶対値記号を外す。 $0 \leqq x \leqq 3$ のとき、$|x - 3| = -(x - 3)$ であるから、

$$f(x) = x - 2(x - 3) - 6 = -x$$

$3 < x \leqq 6$ のとき、$|x - 3| = x - 3$ であるから、

$$f(x) = x + 2(x - 3) - 6 = 3x - 12$$

ここで、$F(x) = \int_0^x f(t) dt$ とおく。定積分の性質により、

$$\int_x^6 f(t) dt = \int_0^6 f(t) dt - \int_0^x f(t) dt = F(6) - F(x)$$

と表せるので、

$$g(x) = |F(x)| + |F(6) - F(x)|$$

となる。定数 $F(6)$ を計算する。

$$\begin{aligned} F(6) &= \int_0^6 f(t) dt \\ &= \int_0^3 (-t) dt + \int_3^6 (3t - 12) dt \\ &= \left[ -\frac{1}{2}t^2 \right]_0^3 + \left[ \frac{3}{2}t^2 - 12t \right]_3^6 \\ &= -\frac{9}{2} + \left( \frac{3}{2} \cdot 36 - 12 \cdot 6 \right) - \left( \frac{3}{2} \cdot 9 - 12 \cdot 3 \right) \\ &= -\frac{9}{2} + (54 - 72) - \left( \frac{27}{2} - 36 \right) \\ &= -\frac{9}{2} - 18 + \frac{45}{2} \\ &= 0 \end{aligned}$$

これより、$g(x) = |F(x)| + |-F(x)| = 2|F(x)|$ と簡略化される。 $F(3)$ を計算すると、

$$F(3) = \int_0^3 (-t) dt = -\frac{9}{2}$$

したがって、

$$g(3) = 2|F(3)| = 2 \left| -\frac{9}{2} \right| = 9$$

また、

$$g(6) = 2|F(6)| = 2|0| = 0$$

(2)

(1) より、$g(x) = 2|F(x)|$ である。各区間における $F(x)$ を求める。

(i) $0 \leqq x \leqq 3$ のとき

$$F(x) = \int_0^x (-t) dt = \left[ -\frac{1}{2}t^2 \right]_0^x = -\frac{1}{2}x^2$$

この区間において $F(x) \leqq 0$ であるから、

$$g(x) = 2 \left| -\frac{1}{2}x^2 \right| = x^2$$

(ii) $3 < x \leqq 6$ のとき

$$\begin{aligned} F(x) &= \int_0^x f(t) dt \\ &= \int_0^3 (-t) dt + \int_3^x (3t - 12) dt \\ &= -\frac{9}{2} + \left[ \frac{3}{2}t^2 - 12t \right]_3^x \\ &= -\frac{9}{2} + \left( \frac{3}{2}x^2 - 12x \right) - \left( \frac{27}{2} - 36 \right) \\ &= \frac{3}{2}x^2 - 12x + 18 \\ &= \frac{3}{2}(x - 2)(x - 6) \end{aligned}$$

$3 < x \leqq 6$ において、$x - 2 > 0$ かつ $x - 6 \leqq 0$ であるから、$F(x) \leqq 0$ となる。したがって、

$$g(x) = 2 \left| \frac{3}{2}(x - 2)(x - 6) \right| = -3(x - 2)(x - 6) = -3x^2 + 24x - 36$$

以上より、

$$g(x) = \begin{cases} x^2 & (0 \leqq x \leqq 3) \\ -3x^2 + 24x - 36 & (3 < x \leqq 6) \end{cases}$$

(3)

$0 \leqq x \leqq 6$ において $g(x) \geqq 0$ であり、$g(0) = 0$、$g(6) = 0$ であるから、曲線 $y = g(x)$ と $x$軸で囲まれた図形は区間 $0 \leqq x \leqq 6$ 全体にわたる。求める面積を $S$ とすると、

$$\begin{aligned} S &= \int_0^6 g(x) dx \\ &= \int_0^3 x^2 dx + \int_3^6 (-3x^2 + 24x - 36) dx \\ &= \left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_0^3 + \left[ -x^3 + 12x^2 - 36x \right]_3^6 \\ &= 9 + \{ (-216 + 432 - 216) - (-27 + 108 - 108) \} \\ &= 9 + \{ 0 - (-27) \} \\ &= 9 + 27 \\ &= 36 \end{aligned}$$

解説

関数 $g(x)$ に含まれる 2 つの定積分をそのまま計算しようとすると、積分区間が変数を跨ぐため非常に煩雑な場合分けが必要になる。定積分の性質を用いて $\int_x^6 f(t) dt = \int_0^6 f(t) dt - \int_0^x f(t) dt$ と変形し、$g(x)$ の式を $\int_0^x f(t) dt$ だけで構成できる形に持ち込むのが最大のポイントである。本問ではさらに $\int_0^6 f(t) dt = 0$ となるため、極めてシンプルな形へと帰着できる。