数学2 面積・接線 問題 87 解説

方針・初手

放物線上の点における接線の方程式を一般的な文字を用いて立式する。2本の接線 $L_1, L_2$ の接点の $x$ 座標をそれぞれ $\alpha, \beta$ とおき、2直線の「交点の $x$ 座標が $\frac{3}{2}$」という条件と、「直交する」という条件を $\alpha, \beta$ の関係式として表す。面積計算においては、放物線と接線で囲まれた面積の計算の定石である $(x-\alpha)^2$ の積分形が現れることを意識する。

解法1

曲線 $C: y = \frac{x^2}{4}$ について、関数を $x$ で微分すると $y' = \frac{x}{2}$ である。

$C$ 上の点 $\left( t, \frac{t^2}{4} \right)$ における接線の方程式は

$$y - \frac{t^2}{4} = \frac{t}{2}(x - t)$$

すなわち

$$y = \frac{t}{2}x - \frac{t^2}{4} \quad \cdots (1)$$

である。

$L_1, L_2$ はともに $C$ に接するから、接点の $x$ 座標をそれぞれ $\alpha, \beta$ （$\alpha < \beta$）とすると、$L_1, L_2$ の方程式は (1) よりそれぞれ

$$L_1: y = \frac{\alpha}{2}x - \frac{\alpha^2}{4}$$

$$L_2: y = \frac{\beta}{2}x - \frac{\beta^2}{4}$$

と表せる。

これら2直線の交点の $x$ 座標を求める。$\frac{\alpha}{2}x - \frac{\alpha^2}{4} = \frac{\beta}{2}x - \frac{\beta^2}{4}$ より

$$\frac{\alpha - \beta}{2}x = \frac{\alpha^2 - \beta^2}{4}$$

$\alpha \neq \beta$ であるから、両辺を $\frac{\alpha - \beta}{2}$ で割って

$$x = \frac{\alpha + \beta}{2}$$

問題の条件より、交点の $x$ 座標は $\frac{3}{2}$ であるから

$$\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{3}{2}$$

$$\alpha + \beta = 3 \quad \cdots (2)$$

また、$L_1, L_2$ は直交するので、その傾きの積は $-1$ である。

$$\frac{\alpha}{2} \cdot \frac{\beta}{2} = -1$$

$$\alpha\beta = -4 \quad \cdots (3)$$

(2), (3) より、$\alpha, \beta$ は $t$ についての2次方程式 $t^2 - 3t - 4 = 0$ の解である。

これを解くと

$$(t - 4)(t + 1) = 0$$

$$t = -1, 4$$

$\alpha < \beta$ と設定したため、$\alpha = -1, \beta = 4$ である。

ゆえに、2直線の交点の $x$ 座標は $\frac{3}{2}$ であり、$L_1, L_2$ の方程式はそれぞれ

$$L_1: y = -\frac{1}{2}x - \frac{1}{4}$$

$$L_2: y = 2x - 4$$

となる。

求める面積 $S$ は、$C$ と $L_1, L_2$ で囲まれる図形の面積である。積分区間は交点を境に $-1 \leqq x \leqq \frac{3}{2}$ と $\frac{3}{2} \leqq x \leqq 4$ に分かれる。放物線から接線を引いた式が完全平方式になることを利用して計算する。

$$\begin{aligned} S &= \int_{-1}^{\frac{3}{2}} \left\{ \frac{x^2}{4} - \left( -\frac{1}{2}x - \frac{1}{4} \right) \right\} dx + \int_{\frac{3}{2}}^{4} \left\{ \frac{x^2}{4} - (2x - 4) \right\} dx \\ &= \int_{-1}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{4}(x + 1)^2 dx + \int_{\frac{3}{2}}^{4} \frac{1}{4}(x - 4)^2 dx \\ &= \left[ \frac{1}{12}(x + 1)^3 \right]_{-1}^{\frac{3}{2}} + \left[ \frac{1}{12}(x - 4)^3 \right]_{\frac{3}{2}}^{4} \\ &= \frac{1}{12} \left( \frac{5}{2} \right)^3 + \frac{1}{12} \left( 0 - \left(-\frac{5}{2}\right)^3 \right) \\ &= \frac{1}{12} \cdot \frac{125}{8} + \frac{1}{12} \cdot \frac{125}{8} \\ &= \frac{125}{48} \end{aligned}$$

解法2

$C$ の接点 $x$ 座標を $\alpha, \beta$ （$\alpha < \beta$）とおく。解法1と同様に、交点と直交の条件から以下の関係式が得られる。

$$\alpha + \beta = 3$$

$$\alpha\beta = -4$$

放物線 $y = ax^2+bx+c$ とその2本の接線で囲まれた図形の面積 $S$ は、接点の $x$ 座標を $\alpha, \beta$ としたとき、$S = \frac{|a|}{12}(\beta - \alpha)^3$ となることが知られている。

本問において $a = \frac{1}{4}$ であるから、必要なのは $\beta - \alpha$ の値である。解と係数の関係から得られた基本対称式の値を用いて変形する。

$$\begin{aligned} (\beta - \alpha)^2 &= (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta \\ &= 3^2 - 4(-4) \\ &= 9 + 16 \\ &= 25 \end{aligned}$$

$\alpha < \beta$ より $\beta - \alpha > 0$ であるから

$$\beta - \alpha = 5$$

これを面積の公式に代入する。

$$\begin{aligned} S &= \frac{\frac{1}{4}}{12} \cdot 5^3 \\ &= \frac{125}{48} \end{aligned}$$

解説

放物線の2本の接線に関する基本的な典型問題である。交点や直交という条件を文字で立式し、対称式の関係に持ち込む処理は非常に多く出題される。

放物線と2接線に囲まれた面積を求める際、定積分をまともに展開して計算するとミスを誘発しやすい。解法1のように、被積分関数が接点で重解をもつことから $\frac{a}{3}(x-\alpha)^3$ の形にまとまる性質を利用して計算するのが鉄則である。また、解法2で示した「$\frac{1}{12}$ 公式」を用いると大幅な時間短縮になる。記述式答案ではいきなり公式を使うと飛躍とみなされる可能性があるため、解法1のように定積分の式を一度書いてから計算を進めるのが安全である。

答え

$\frac{125}{48}$