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数学2 面積・接線問題 89 解説

方針・初手

点 D の $x$ 座標を求め、(1) は点 P、M、D の座標を文字 $a, c$ を用いて表すことから始める。(2) は (1) の結果を利用し、$y$ 軸に平行な線分（PM や MD）を底辺とみなして三角形の面積を比較すると見通しが良い。

解法1

(1)

$b = \frac{a+c}{2}$ である。曲線 $y = x^2$ について、$y' = 2x$ である。直線 BC の傾きは、

$$\frac{c^2 - b^2}{c - b} = c + b$$

点 D の $x$ 座標を $d$ とすると、点 D における接線の傾きは $2d$ となる。これが直線 BC の傾きに等しいから、

$$2d = b + c \iff d = \frac{b+c}{2}$$

また、線分 BC の中点 M の $x$ 座標は $\frac{b+c}{2}$ であるから、点 D と点 M の $x$ 座標は一致する。すなわち、直線 MD は $y$ 軸に平行であり、その方程式は $x = \frac{b+c}{2}$ となる。ここで $b = \frac{a+c}{2}$ を代入すると、直線 MD の方程式は、

$$x = \frac{\frac{a+c}{2} + c}{2} = \frac{a+3c}{4}$$

点 P は直線 AC と直線 MD の交点である。直線 AC の方程式は、傾きが $\frac{c^2 - a^2}{c - a} = a + c$ であるから、

$$y - a^2 = (a+c)(x - a) \iff y = (a+c)x - ac$$

点 P の $x$ 座標は $\frac{a+3c}{4}$ であるから、$y$ 座標 $y_P$ は、

$$y_P = (a+c) \cdot \frac{a+3c}{4} - ac = \frac{a^2 + 4ac + 3c^2 - 4ac}{4} = \frac{a^2 + 3c^2}{4}$$

中点 M の $y$ 座標 $y_M$ は、

$$y_M = \frac{b^2+c^2}{2} = \frac{1}{2} \left\{ \left( \frac{a+c}{2} \right)^2 + c^2 \right\} = \frac{a^2 + 2ac + 5c^2}{8}$$

点 D の $y$ 座標 $y_D$ は、

$$y_D = d^2 = \left( \frac{a+3c}{4} \right)^2 = \frac{a^2 + 6ac + 9c^2}{16}$$

点 P、M、D は $y$ 軸に平行な同一直線上にあるため、線分の長さは $y$ 座標の差となる。

$$y_P - y_M = \frac{2a^2 + 6c^2 - (a^2 + 2ac + 5c^2)}{8} = \frac{a^2 - 2ac + c^2}{8} = \frac{(c-a)^2}{8}$$

$$y_M - y_D = \frac{2a^2 + 4ac + 10c^2 - (a^2 + 6ac + 9c^2)}{16} = \frac{a^2 - 2ac + c^2}{16} = \frac{(c-a)^2}{16}$$

$a < c$ より $(c-a)^2 > 0$ であるため、$y_P > y_M > y_D$ となる。よって、$\text{PM} = \frac{(c-a)^2}{8}$、$\text{MD} = \frac{(c-a)^2}{16}$ であり、

$$\text{PM} : \text{MD} = \frac{1}{8} : \frac{1}{16} = 2 : 1$$

(2)

直線 PMD は $y$ 軸に平行であるから、これを底辺の一部とみなして面積を計算する。 $\triangle\text{BCD}$ は、直線 MD を境に2つの三角形 $\triangle\text{MBD}$ と $\triangle\text{MCD}$ の和として表せる。

$$\triangle\text{BCD} = \frac{1}{2} \cdot \text{MD} \cdot (d - b) + \frac{1}{2} \cdot \text{MD} \cdot (c - d) = \frac{1}{2} \cdot \text{MD} \cdot (c - b)$$

同様に、$\triangle\text{PBC}$ は直線 PM を用いて分割し、

$$\triangle\text{PBC} = \frac{1}{2} \cdot \text{PM} \cdot (d - b) + \frac{1}{2} \cdot \text{PM} \cdot (c - d) = \frac{1}{2} \cdot \text{PM} \cdot (c - b)$$

ここで (1) の結果より $\text{PM} = 2\text{MD}$ であるから、

$$\triangle\text{PBC} = 2 \triangle\text{BCD}$$

次に、点 P は線分 AC 上の点であるため、$\triangle\text{ABC}$ と $\triangle\text{PBC}$ の面積比は、底辺を直線 AC とみなしたときの線分 AC と PC の長さの比（すなわち $x$ 座標の差の比）に等しい。点 A の $x$ 座標は $a$、点 P の $x$ 座標は $d = \frac{a+3c}{4}$、点 C の $x$ 座標は $c$ であるから、

$$c - a : c - d = (c - a) : \left( c - \frac{a+3c}{4} \right) = (c-a) : \frac{c-a}{4} = 4 : 1$$

よって、$\text{AC} : \text{PC} = 4 : 1$ となり、

$$\triangle\text{ABC} = 4 \triangle\text{PBC}$$

したがって、

$$\triangle\text{ABC} = 4 \triangle\text{PBC} = 4 \cdot (2 \triangle\text{BCD}) = 8 \triangle\text{BCD}$$

ゆえに、$\triangle\text{ABC} : \triangle\text{BCD} = 8 : 1$ である。

解法2

(2の別解：座標を用いた直接計算)

$b = \frac{a+c}{2}$ であり、$a < c$ であるから、$c - a > 0$ である。計算を簡略化するため、$c - a = 4t \ (t > 0)$ とおくと、$b = a + 2t$、$c = a + 4t$ と表せる。 3点の座標は $\text{A}(a, a^2)$、$\text{B}(a+2t, (a+2t)^2)$、$\text{C}(a+4t, (a+4t)^2)$ となる。解法1の計算と同様に、点 D の $x$ 座標 $d$ は線分 BC の $x$ 座標の中点となるため、

$$d = \frac{(a+2t) + (a+4t)}{2} = a + 3t$$

よって $\text{D}(a+3t, (a+3t)^2)$ である。

$\triangle\text{ABC}$ の面積 $S_1$ を求める。点 A を原点に移す平行移動を考えると、

$$\overrightarrow{\text{AB}} = (2t, (a+2t)^2 - a^2) = (2t, 4at + 4t^2) = 2t(1, 2a + 2t)$$

$$\overrightarrow{\text{AC}} = (4t, (a+4t)^2 - a^2) = (4t, 8at + 16t^2) = 4t(1, 2a + 4t)$$

座標を用いた三角形の面積公式より、

$$S_1 = \frac{1}{2} \left| 2t \cdot 4t(2a+4t) - 4t \cdot 2t(2a+2t) \right| = \frac{1}{2} \left| 8t^2 (2a+4t - 2a - 2t) \right| = \frac{1}{2} \left| 8t^2 \cdot 2t \right| = 8t^3$$

$\triangle\text{BCD}$ の面積 $S_2$ を求める。点 B を原点に移す平行移動を考えると、

$$\overrightarrow{\text{BC}} = (2t, (a+4t)^2 - (a+2t)^2) = (2t, 4at + 12t^2) = 2t(1, 2a + 6t)$$

$$\overrightarrow{\text{BD}} = (t, (a+3t)^2 - (a+2t)^2) = (t, 2at + 5t^2) = t(1, 2a + 5t)$$

同様に面積公式より、

$$S_2 = \frac{1}{2} \left| 2t \cdot t(2a+5t) - t \cdot 2t(2a+6t) \right| = \frac{1}{2} \left| 2t^2 (2a+5t - 2a - 6t) \right| = \frac{1}{2} \left| 2t^2 \cdot (-t) \right| = t^3$$

したがって、$\triangle\text{ABC} : \triangle\text{BCD} = S_1 : S_2 = 8t^3 : t^3 = 8 : 1$ である。

解説

放物線における有名な性質として、「放物線の弦と平行な接線を持つ接点の $x$ 座標は、弦の両端の $x$ 座標の中点に一致する（アルキメデスの定理に関連する性質）」というものがある。本問の (1) はこれを座標計算で確認する内容を含んでいる。

(2) では、図形的に $y$ 軸に平行な線分を用いて三角形の面積を分割・比較する手法（解法1）が、計算量を大きく減らすうえで非常に有効である。一方で、解法2のように文字を $t$ に置き換えて等差数列的に扱うことで、直接的な面積公式の計算を劇的に簡略化するテクニックも、試験本番の検算や力技での突破において重宝する。