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数学2 面積・接線問題 93 解説

方針・初手

2つの2次関数の交点や囲む面積を求める基本的な問題である。(1)では、連立方程式から得られる2次方程式の判別式を利用する。(2)は、いわゆる「$1/6$公式」の証明であり、積分変数の工夫や展開によって定積分を計算する。(3)では、(1)で求めた交点の$x$座標を文字でおき、(2)の結果を利用して面積の式を立てて最大値を求める。

解法1

(1) $C_1$と$C_2$の方程式から$y$を消去すると、

$$(x-a)^2 - a = -x^2$$

展開して整理すると、

$$2x^2 - 2ax + a^2 - a = 0$$

となる。$C_1$と$C_2$が2つの異なる交点をもつための条件は、この$x$についての2次方程式が異なる2つの実数解をもつことである。この方程式の判別式を$D$とすると、

$$\frac{D}{4} = (-a)^2 - 2(a^2 - a) = -a^2 + 2a$$

$D > 0$であればよいので、

$$-a^2 + 2a > 0$$

$$a(a-2) < 0$$

これを解いて、求める$a$の値の範囲は、

$$0 < a < 2$$

である。

(2) 被積分関数を展開せずに、積分変数を工夫して計算する。

$$\begin{aligned} \int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)(x-\beta) dx &= \int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha) \{ (x-\alpha) + (\alpha-\beta) \} dx \\ &= \int_{\alpha}^{\beta} \{ (x-\alpha)^2 - (\beta-\alpha)(x-\alpha) \} dx \\ &= \left[ \frac{(x-\alpha)^3}{3} - (\beta-\alpha)\frac{(x-\alpha)^2}{2} \right]_{\alpha}^{\beta} \\ &= \frac{(\beta-\alpha)^3}{3} - \frac{(\beta-\alpha)^3}{2} \\ &= -\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3 \end{aligned}$$

となり、等式が成り立つことが示された。

(3) (1)で求めた2次方程式 $2x^2 - 2ax + a^2 - a = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ ($\alpha < \beta$) とおく。これらは$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標である。解の公式より、

$$x = \frac{a \pm \sqrt{-a^2 + 2a}}{2}$$

であるから、

$$\beta - \alpha = \frac{a + \sqrt{-a^2 + 2a}}{2} - \frac{a - \sqrt{-a^2 + 2a}}{2} = \sqrt{-a^2 + 2a}$$

となる。区間 $\alpha \leqq x \leqq \beta$ において、上に凸の放物線$C_2$が下に凸の放物線$C_1$より上側（または等しい）にあるため、$C_1$と$C_2$によって囲まれた図形の面積$S(a)$は、

$$S(a) = \int_{\alpha}^{\beta} \{ -x^2 - ((x-a)^2 - a) \} dx$$

$$S(a) = \int_{\alpha}^{\beta} ( -2x^2 + 2ax - a^2 + a ) dx$$

$$S(a) = -2 \int_{\alpha}^{\beta} \left( x^2 - ax + \frac{a^2 - a}{2} \right) dx$$

$\alpha, \beta$は $x^2 - ax + \frac{a^2 - a}{2} = 0$ の解であるから、因数定理より $x^2 - ax + \frac{a^2 - a}{2} = (x-\alpha)(x-\beta)$ と表せる。したがって、

$$S(a) = -2 \int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)(x-\beta) dx$$

となる。ここで(2)の結果を用いると、

$$S(a) = -2 \left\{ -\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3 \right\} = \frac{1}{3}(\beta-\alpha)^3$$

となる。$\beta - \alpha = \sqrt{-a^2 + 2a}$ を代入して、

$$S(a) = \frac{1}{3} ( -a^2 + 2a )^{\frac{3}{2}}$$

ルートの中身を平方完成すると、

$$-a^2 + 2a = -(a-1)^2 + 1$$

となる。$0 < a < 2$ の範囲において、$-(a-1)^2 + 1$ は $a = 1$ のとき最大値 $1$ をとる。関数 $y = x^{\frac{3}{2}}$ は $x > 0$ において単調増加であるから、$S(a)$ も $a = 1$ のとき最大となる。そのときの最大値は、

$$S(1) = \frac{1}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{3}$$

である。

解法2

(2)の別解 部分積分法を用いて計算することもできる。

$$\begin{aligned} \int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)(x-\beta) dx &= \int_{\alpha}^{\beta} \left\{ \frac{(x-\alpha)^2}{2} \right\}^{\prime} (x-\beta) dx \\ &= \left[ \frac{(x-\alpha)^2}{2} (x-\beta) \right]_{\alpha}^{\beta} - \int_{\alpha}^{\beta} \frac{(x-\alpha)^2}{2} \cdot 1 dx \\ &= (0 - 0) - \left[ \frac{(x-\alpha)^3}{6} \right]_{\alpha}^{\beta} \\ &= -\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3 \end{aligned}$$

となり、示された。

解説

2つの2次関数の交点を通る面積を求める典型問題である。(2)の定積分は「1/6公式」として知られているものであり、結果を暗記している受験生も多いが、本問のように導出が求められることもよくある。展開して愚直に積分するのではなく、積分変数の一部を塊として扱う方法や、部分積分を用いる方法など、計算を簡略化する工夫を身につけておきたい。 (3)では、交点の$x$座標を直接代入して計算すると非常に複雑になってしまう。$\alpha, \beta$ とおいたまま立式し、解と係数の関係や解の公式から $\beta - \alpha$ の値を求めて代入するのが定石である。面積を $a$ の関数として表した後は、微分を使わずに2次関数の最大・最小問題として処理できる。