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数学2 面積・接線問題 94 解説

方針・初手

点 $\mathrm{P}$ の $x$ 座標を文字でおき、$C_1$ における接線の方程式を求める。次に、その接線と放物線 $C_2$ の交点 $\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$ の $x$ 座標を計算する。面積 $S$ は直線と放物線で囲まれる図形の面積であるため、定積分計算を簡略化できるいわゆる $\frac{1}{6}$ 公式を利用し、点 $\mathrm{Q}$ の $x$ 座標についての関数として立式して最小値を求める。

解法1

放物線 $C_1 : y = x^2 + m^2$ 上の点 $\mathrm{P}$ の $x$ 座標を $p$ とする。 $y' = 2x$ より、点 $\mathrm{P}(p, p^2+m^2)$ における接線の方程式は

$$y - (p^2+m^2) = 2p(x - p)$$

すなわち

$$y = 2px - p^2 + m^2$$

となる。この接線と放物線 $C_2 : y = x^2$ の交点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ の $x$ 座標は、次の方程式の実数解である。

$$x^2 = 2px - p^2 + m^2$$

整理すると

$$x^2 - 2px + p^2 - m^2 = 0$$

$$(x - p)^2 = m^2$$

$m$ は正の実数であるから、$x = p \pm m$ となる。交点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ の $x$ 座標をそれぞれ $\alpha, \beta$ （$\alpha < \beta$）とすると

$$\alpha = p - m, \quad \beta = p + m$$

と表せ、このとき $\beta - \alpha = 2m$ となる。

次に、点 $\mathrm{Q}$ は $C_2$ 上の $\mathrm{A}$ と $\mathrm{B}$ の間にあるので、$\mathrm{Q}$ の $x$ 座標を $q$ とすると $\alpha < q < \beta$ である。直線 $\mathrm{AQ}$ の方程式を $y = l_{\mathrm{AQ}}(x)$ とすると、$C_2$ と直線 $\mathrm{AQ}$ は $x = \alpha, q$ で交わるため、恒等式として

$$l_{\mathrm{AQ}}(x) - x^2 = -(x - \alpha)(x - q)$$

が成り立つ。よって、直線 $\mathrm{AQ}$ と $C_2$ で囲まれる領域の面積 $S_1$ は

$$S_1 = \int_{\alpha}^{q} \{l_{\mathrm{AQ}}(x) - x^2\} dx = \int_{\alpha}^{q} -(x - \alpha)(x - q) dx = \frac{1}{6}(q - \alpha)^3$$

となる。同様に、直線 $\mathrm{QB}$ の方程式を $y = l_{\mathrm{QB}}(x)$ とし、直線 $\mathrm{QB}$ と $C_2$ で囲まれる領域の面積を $S_2$ とすると

$$S_2 = \int_{q}^{\beta} \{l_{\mathrm{QB}}(x) - x^2\} dx = \int_{q}^{\beta} -(x - q)(x - \beta) dx = \frac{1}{6}(\beta - q)^3$$

となる。したがって、面積の和 $S$ は

$$S = S_1 + S_2 = \frac{1}{6}(q - \alpha)^3 + \frac{1}{6}(\beta - q)^3$$

となる。$S$ を $q$ の関数とみて $q$ で微分すると

$$\frac{dS}{dq} = \frac{1}{2}(q - \alpha)^2 - \frac{1}{2}(\beta - q)^2 = \frac{1}{2} \{ (q - \alpha)^2 - (\beta - q)^2 \}$$

因数分解すると

$$\frac{dS}{dq} = \frac{1}{2} \{ (q - \alpha) - (\beta - q) \} \{ (q - \alpha) + (\beta - q) \} = \frac{1}{2}(2q - \alpha - \beta)(\beta - \alpha)$$

$\alpha < q < \beta$ において $\beta - \alpha > 0$ であるから、$\frac{dS}{dq} = 0$ となるのは $q = \frac{\alpha + \beta}{2}$ のときである。増減を調べると、$q = \frac{\alpha + \beta}{2}$ の前後で $\frac{dS}{dq}$ の符号は負から正に変わるため、$S$ はこのとき極小かつ最小となる。

最小値は

$$S_{\min} = \frac{1}{6} \left( \frac{\beta - \alpha}{2} \right)^3 + \frac{1}{6} \left( \frac{\beta - \alpha}{2} \right)^3 = 2 \times \frac{1}{6} \times \frac{(\beta - \alpha)^3}{8} = \frac{1}{24}(\beta - \alpha)^3$$

ここで、$\beta - \alpha = 2m$ を代入すると

$$S_{\min} = \frac{1}{24} (2m)^3 = \frac{8m^3}{24} = \frac{1}{3}m^3$$

この値は点 $\mathrm{P}$ の $x$ 座標 $p$ を含まず、$m$ のみで定まるため、最小値は $\mathrm{P}$ のとり方によらない。

解説

放物線と直線の交点を文字でおき、面積公式 $\int_{\alpha}^{\beta} -(x - \alpha)(x - \beta) dx = \frac{1}{6}(\beta - \alpha)^3$ を活用する典型的な問題である。交点の $x$ 座標である $\alpha, \beta$ を直接 $p \pm m$ として計算を続けると式が煩雑になるため、一旦 $\alpha, \beta$ のまま式変形を進め、最後に $\beta - \alpha = 2m$ を代入するという計算上の工夫が求められる。また、最小値をとる $q$ が区間の中点 $\frac{\alpha + \beta}{2}$ であることも、放物線の対称性から直感と一致する。