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数学2 面積・接線問題 95 解説

方針・初手

(1) は、円と放物線の方程式から $x$ を消去して $y$ についての2次方程式を導き、その実数解の個数と範囲から $x$ の個数を調べる。放物線上の点は $y \geqq 0$ を満たすことに注意する。

(2) は、点Pの座標を $k$ を用いて表し、接線の方程式を求め、定積分により面積を計算する。面積の式は $k$ の関数となるので、微分を用いて最大値を求める。

解法1

(1)

円 $C$ の方程式は

$$x^2 + (y - 1)^2 = 1$$

放物線 $S$ の方程式は $y = \frac{1}{k}x^2$ であり、$k > 0$ より $x^2 = ky$ と変形できる。これを $C$ の方程式に代入して $x$ を消去すると

$$ky + (y - 1)^2 = 1$$

$$y^2 + (k - 2)y = 0$$

$$y\{y - (2 - k)\} = 0$$

これより、$y = 0, 2 - k$ を得る。 $x$ と $y$ の対応関係を考えると、$x^2 = ky$ かつ $k > 0$ であるから、 $y = 0$ のとき、$x^2 = 0$ より $x = 0$ となり、共有点は $(0, 0)$ の1個である。 $y = 2 - k$ のとき、$x^2 = k(2 - k)$ となる。これが $x=0$ 以外の異なる2個の実数解をもつための条件は、$k(2 - k) > 0$ である。 $k > 0$ であるから、$2 - k > 0$ より $k < 2$ を得る。このとき、共有点は $(0, 0)$ と $\left(\pm \sqrt{k(2 - k)}, 2 - k\right)$ のちょうど3個となる。よって、求める $k$ の範囲は

$$0 < k < 2$$

(2)

(1) より、点Pの $x$ 座標は正であるから、P の座標は $\left(\sqrt{k(2 - k)}, 2 - k\right)$ である。計算を簡略化するため、点Pの $x$ 座標を $p$ とおく。すなわち、$p = \sqrt{k(2 - k)}$ であり、$p > 0$ である。また、P の $y$ 座標は $\frac{1}{k}p^2$ である。 $y = \frac{1}{k}x^2$ について $y' = \frac{2}{k}x$ であるから、点Pにおける接線 $l$ の方程式は

$$y - \frac{1}{k}p^2 = \frac{2p}{k}(x - p)$$

$$y = \frac{2p}{k}x - \frac{1}{k}p^2$$

求める領域の面積 $T$ は、放物線 $S$、接線 $l$、$y$ 軸で囲まれた部分である。区間 $0 \leqq x \leqq p$ において放物線は接線の上側にあるため、

$$T = \int_{0}^{p} \left\{ \frac{1}{k}x^2 - \left( \frac{2p}{k}x - \frac{1}{k}p^2 \right) \right\} dx$$

$$T = \frac{1}{k} \int_{0}^{p} (x - p)^2 dx$$

$$T = \frac{1}{k} \left[ \frac{1}{3}(x - p)^3 \right]_{0}^{p}$$

$$T = \frac{p^3}{3k}$$

ここで、$p = \sqrt{k(2 - k)}$ を代入する。

$$T = \frac{1}{3k} \{k(2 - k)\}^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{3} \sqrt{k} (2 - k)^{\frac{3}{2}}$$

$T > 0$ であるから、$T$ が最大となるのは $T^2$ が最大となるときである。 $f(k) = 9T^2 = k(2 - k)^3$ とおき、$0 < k < 2$ における $f(k)$ の増減を調べる。

$$f'(k) = 1 \cdot (2 - k)^3 + k \cdot 3(2 - k)^2 \cdot (-1)$$

$$f'(k) = (2 - k)^2 \{ (2 - k) - 3k \}$$

$$f'(k) = 2(2 - k)^2 (1 - 2k)$$

$0 < k < 2$ において、$f'(k) = 0$ となるのは $k = \frac{1}{2}$ のときである。増減表は以下のようになる。

$$\begin{array}{c|ccccc} k & (0) & \cdots & \frac{1}{2} & \cdots & (2) \\ \hline f'(k) & & + & 0 & - & \\ \hline f(k) & & \nearrow & \text{極大} & \searrow & \end{array}$$

ゆえに、$f(k)$ は $k = \frac{1}{2}$ のとき最大値をとる。このとき

$$f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} \left( 2 - \frac{1}{2} \right)^3 = \frac{1}{2} \cdot \frac{27}{8} = \frac{27}{16}$$

したがって、$T^2$ の最大値は $\frac{1}{9} \cdot \frac{27}{16} = \frac{3}{16}$ であり、$T > 0$ より $T$ の最大値は

$$\sqrt{\frac{3}{16}} = \frac{\sqrt{3}}{4}$$

解説

(1) は、円と放物線の交点に関する典型問題である。片方の文字を消去し、実数解の個数と符号に帰着させる手法が定石となる。今回は $x^2 = ky$ を代入して $y$ の2次方程式とするのが最も簡明である。その際、$x$ と $y$ の対応関係（$y>0$ ならば $x$ は2個存在し、$y=0$ ならば $x$ は1個存在すること）を丁寧に記述する必要がある。

(2) は、放物線とその接線および $y$ 軸で囲まれた面積の計算である。被積分関数が $\frac{1}{k}(x - p)^2$ と平方の形にまとまる性質を利用すると計算ミスを防ぐことができる。面積の最大値を求めるにあたっては、無理関数の微分を避けるため、正の値をとる式の2乗をとって整関数の微分の問題に帰着させるとよい。